专题1.18 《探索三角形全等》作辅助线（三）-倍长中线（专项练习）（培优篇）-2021-2022学年八年级数学上册基础知识专项讲练（苏科版）

专题1.18 《探索三角形全等》作辅助线（三）-倍长中线 （专项练习）（培优篇） 一、解答题 1．已知，在中，，点为边的中点，分别交，于点，． （1）如图1，①若，请直接写出______； ②连接，若，求证：； （2）如图2，连接，若，试探究线段和之间的数量关系，并说明理由． 2．（1）阅读理解：如图1，在中，若，．求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点，使，再连接（或将绕着点逆时针旋转得到），把，，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是______； （2）问题解决：如图2，在中，是边上的中点，于点，交于点，交于点，连接，求证： （3）问题拓展：如图3，在四边形中，，，，以为顶点作一个角，角的两边分别交，于，两点，连接，探索线段，，之间的数量关系，并加以证明． 3．阅读下列材料，完成相应任务． 数学活动课上，老师提出了如下问题： 如图1，已知中，是边上的中线． 求证：． 智慧小组的证法如下： 证明：如图2，延长至，使， ∵是边上的中线∴ 在和中 ∴（依据一）∴ 在中，（依据二） ∴． 任务一：上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指： 依据1：______________________________________________； 依据2：______________________________________________． 归纳总结：上述方法是通过延长中线，使，构造了一对全等三角形，将，，转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． 任务二：如图3，，，则的取值范围是_____________； 任务三：如图4，在图3的基础上，分别以和为边作等腰直角三角形，在中，，；中，，．连接．试探究与的数量关系，并说明理由． 4．已知：△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，点M是BE的中点，连接CM、DM． （1）当点D在AB上，点E在AC上时（如图一），求证：DM=CM，DM⊥CM； （2）当点D在CA延长线上时（如图二）（1）中结论仍然成立，请补全图形（不用证明）； （3）当ED∥AB时（如图三），上述结论仍然成立，请加以证明． 5．（1）如图1，是的中线，，求的取值范围，我们可以延长到点，使