专题1.12 《探索三角形全等》作辅助线（二）-截长补短（知识讲解）-2021-2022学年八年级数学上册基础知识专项讲练（苏科版）

专题1.12《探索三角形全等》作辅助线（二）-截长补短 （知识讲解） 有一类几何题其命题主要证明三条线段长段的“和”或“差”及其比例关系，这一类题目一般可以采取“截长”或“补短”的方法来进行求解。所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段与已经线段相等，然后证明其中的另一段与已知的另一段的大小关系。所谓“补短”，就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等，然后求出延长后的线段与最长的已知线段关系。有的是采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解。 【典型例题】 1、 阅读下面文字并填空： 数学习题课上李老师出了这样一道题：“如图1，在中，AD平分，．求证：． 李老师给出了如下简要分析：“要证就是要证线段的和差问题，所以有两个方法，方法一：‘截长法’如图2，在AC上截取，连接DE，只要证__________即可，这就将证明线段和差问题__________为证明线段相等问题，只要证出____________________，得出及_________，再证出_____________________，进而得出，则结论成立．此种证法的基础是‘已知AD平分，将沿直线AD对折，使点B落在AC边上的点E处’成为可能． 方法二：“补短法”如图3，延长AB至点F，使．只要证即可．此时先证__________，再证出__________________，则结论成立．” “截长补短法”是我们今后证明线段或角的“和差倍分”问题常用的方法． 【答案】方法一：；转化；；；；；；方法二：；； 【分析】 方法一：在AC上截取，由SAS可证可得，BD=DE，根据等角对等边得到CE=DE，即可求证； 方法二：延长AB至点F，使，由AAS可证，可得AC=AF，即可证明： 方法一：在AC上截取，连接DE，如图2 ∵AD平分， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，BD=DE， ∵， ∴ 而， ∴， ∴DE=CE， ∴AB+BD=AE+CE=AC， 故答案为：；转化；；；；；； 方法二：如图3，延长AB至点F，使， ∴ ∴ ∴ ∴ 在和中 ， ∴， ∴AC=AF， ∴AC=AB+BF=AB+BD， 故答案为：；；． 【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，属于截长补短类辅助线，核心思想为数学中的转化思想，此类题的关键是要找到最长边和最短边，然后确定截取辅助线的方式．