第04讲_相似模型 讲义 2021-2022学年北师大版数学九年级上册

教师辅导讲义 学员姓名： 年 级： 辅导科目： 学科教师： 上课时间 授课主题 第04讲_相似模型 知识图谱 错题回顾顾题回顾 共线三等角相似模型 知识精讲 一．共线三等角相似模型 如下图， 图1 图2 图3 重点是共线中的“线”上的三个角要保证相等，利用同角的补角相等近一步证明． 三点剖析 一．考点：共线三等角相似模型．   二．重难点： 1.共线三等角相似模型的识别与构造； 2.共线三等角相似模型于共线三等角全等模型的相同与不同之处．   三．易错点：共线三等角相似模型两个相似三角形的证明与边角的对应关系； 题模精讲 题模一：共线三等角相似模型 例1.1.1如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE=60°，BD=3，CE=2，则△ABC的边长为（　　） A．9 B．12 C．15 D．18 【答案】A 【解析】∵△ABC是等边三角形， ∴∠B=∠C=60°，AB=BC； ∴CD=BC﹣BD=AB﹣3； ∴∠BAD+∠ADB=120° ∵∠ADE=60°， ∴∠ADB+∠EDC=120°， ∴∠DAB=∠EDC， 又∵∠B=∠C=60°， ∴△ABD∽△DCE； ∴， 即； 解得AB=9． 例1.1.2如图，在边长为9的正方形ABCD中，F为AB上一点，连接CF，过点F作，交AD于点E，若，则AE等于（ ） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【答案】C 【解析】该题考查的是相似三角形． ∵正方形中 ∴，， ∴， ∴， ∴， 已知，， ∴， ∴， ∴． 所以本题的答案是C． 例1.1.3如图，面积为24的正方形ABCD中，有一个小正方形EFGH，其中E、F、G分别在AB、BC、FD上．若BF=，则小正方形的周长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵四边形ABCD是正方形，面积为24， ∴BC=CD=2，∠B=∠C=90°， ∵四边形EFGH是正方形， ∴∠EFG=90°， ∵∠EFB+∠DFC=90°，∠BEF+∠EFB=90°， ∴∠BEF=∠DFC，∵∠EBF=∠C=90°， ∴△BEF∽△CFD， ∴=， ∵BF=，CF=，DF==， ∴=， ∴EF=， ∴正方形EFGH的周长为． 例1.1.4（1）问题 如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°，求证：AD•BC=AP•BP． （2）探究 如图2，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC=∠A=∠B=θ时，上述结论是否依然成立？说明理由． （3）应用 请利用（1）（2）获得的经验解决问题： 如图3，在△ABD中，AB=6，AD=BD=5，点P以每秒1个单位长度的速度，由点A出了，沿边AB向点B运动，且满足∠DPC=∠A，设点P的运动时间为t（秒），当以D为圆心，以DC为半径的圆与AB相切时，求t的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）成立，理由见解析；（3）1秒或5秒 【解析】（1）如图1， ∵∠DPC=∠A=∠B=90°， ∴∠ADP+∠APD=90°， ∠BPC+∠APD=90°， ∴∠ADP=∠BPC， ∴△ADP∽△BPC， ∴=， ∴AD•BC=AP•BP； （2）结论AD•BC=AP•BP仍然成立． 理由：如图2， ∵∠BPD=∠DPC+∠BPC，∠BPD=∠A+∠ADP， ∴∠DPC+∠BPC=∠A+∠ADP． ∵∠DPC=∠A=∠B=θ， ∴∠BPC=∠ADP， ∴△ADP∽△BPC， ∴=， ∴AD•BC=AP•BP； （3）如图3， 过点D作DE⊥AB于点E． ∵AD=BD=5，AB=6， ∴AE=BE=3． 由勾股定理可得DE=4． ∵以点D为圆心，DC为半径的圆与AB相切， ∴DC=DE=4， ∴BC=5﹣4=1． 又∵AD=BD， ∴∠A=∠B， ∴∠DPC=∠A=∠B． 由（1）、（2）的经验可知AD•BC=AP•BP， ∴5×1=t（6﹣t）， 解得：t1=1，t2=5， ∴t的值为1秒或5秒． 随堂练习 随练1.1如图，等边的边长为3，P为BC上一点，且，D为AC上一点，若，则CD的长为（ ） A B C P D A． B． C． D． 【答案】B 【解析】本题考查相似三角形的判定和性质 ． ∵△ABC是正三角形 ∴ ∵ 又∵ ∴ ∴△ABP∽△PCD ∴ ∵，， ∴ 答案为B ． A B C P D 随练1.2如图，在矩形中，，，点在边上，且，交于，则的长为_________． 【答案】 【解析】解：，∴， ，，，，， ∴，解得：． 随练1.