暑假作业十二（幂函数）-（新高一）2021-2022学年人教A版（2019）高中数学必修一

3.3 幂函数 一．知识梳理 幂函数 (1)定义：形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．常见的五类幂函数为y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1. (2)性质 ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义； ②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减． 巧识幂函数的图象和性质 2． 每日一练 一、单选题 1．下列关于函数的单调性的描述中，正确的是（ ） A．在上是增函数 B．在上是减函数 C．在上是增函数 D．在上是减函数 2．关于幂函数有下列的四个命题，其中，真命题是（ ）． A．幂函数中不存在既不是奇函数又不是偶函数的函数 B．如果一个幂函数有反函数，那么它一定为奇函数 C．图像不经过点的幂函数，一定不是偶函数 D．如果两个幂函数有三个公共点，那么，这两个函数一定相同 3．设α∈，则使函数y＝xα的定义域为R的所有α的值为（ ） A．1,3 B．－1,1 C．－1,3 D．－1,1,3 4．幂函数在为增函数，则的值是（ ） A． B． C．或 D．或 5．已知点在幂函数图像上，则的表达式为（ ） A． B． C． D． 6．函数的大致图象是（ ） A． B． C． D． 7．已知幂函数的图象经过点，则的值等于（ ） A． B．2 C．4 D． 8．若幂函数在上是减函数，则实数的值是（ ） A．或3 B．3 C． D．0 二、多选题 9．下列函数中，既是偶函数又在区间单调递增的是（ ） A． B． C． D． 10．下列说法中错误的是（ ） A．幂函数的图象不经过第四象限 B．的图象是一条直线 C．若函数的定义域为，则它的值域为 D．若函数的值域为是，则它的定义域一定是 11．已知幂函数，则下列结论正确的有（ ） A． B．的定义域是 C．是偶函数 D．不等式的解集是 12．若幂函数的图象经过点，则幂函数在定义域上是（ ） A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．减函数 三、填空题 13．幂函数在区间上是减函数，则__________. 14．已知α∈{﹣2，﹣1，﹣，1，2，3}，若幂函数f（x）＝xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，则α＝_____． 15．函数恒过定点______． 16．已知幂函数图像过点，则该幂函数的解析式是______________ 四、解答题 17．已知幂函数在区间上单调递增. （1）求的解析式； （2）用定义法证明函数在区间上单调递减. 18． 已知幂函数（）的图象与x轴、y轴都无交点，且关于原点对称，求m的值． 19．已知函数，当m为何值时，： （1）是幂函数； （2）是幂函数，且是上的增函数； （3）是正比例函数； （4）是反比例函数； （5）是二次函数. 20．已知幂函数为奇函数． （1）求实数m的值； （2）求函数的值域． 21． 已知幂函数，经过点，试确定的值，并求满足条件的实数的取值范围. 22．已知函数，. （1）求方程的解集； （2）定义：.已知定义在上的函数.求函数的解析式，在平面直角坐标系中，画出函数的简图；并写出函数的单调区间和最小值. 试卷第1页，总3页 试卷第1页，总3页 参考答案 1．C在上是增函数 2．CA.的定义域是，它既不是奇函数又不是偶函数，故A不正确； B. 有反函数，反函数是 ，但它不是奇函数，故B不正确； C.因为幂函数必过点，若函数是偶函数，则必过点，若函数没有过点，则函数一定不是偶函数，故C正确；D.函数和都是幂函数，且有三个公共点，分别是，但是这两个函数不同，故D不正确. 3．A当时，函数y＝的定义域为，不是R，所以不成立； 当时，函数y＝的定义域为，不是R，所以不成立； 当或时，满足函数y＝xα的定义域为R， 4．B为幂函数，，解得：或；当时，，则在上为减函数，不合题意；当时，，则在上为增函数，符合题意；综上所述：. 5．B设，由条件可知，所以，所以， 6．A由题意得，，所以函数的定义域为，因为，根据幂函数的性质，可知函数在第一象限为单调递减函数， 7．D设幂函数，幂函数的图象经过点所以，解得 所以，则 8．B解：因为幂函数在上是减函数，所以，由，得或，当时，，所以舍去，当时，，所以， 9．AB选项A中，，定义域为R，满足，故是偶函数，又由二次函数性质知区间单调递增，故符合题意；选项B中，，定义域为R，满足，故是偶函数，在区间上，是递增函数，故符合题意； 选项C中，，定义域为，满，故是偶函数，但由幂函数性质知在区间单调递减，故不符合题意；选项D中，，定义