暑假作业十（单调性与最大（小）值）-（新高一）2021-2022学年人教A版（2019）高中数学必修一

3.2.1 单调性与最大（小）值 一．知识梳理 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间． [注意]　有多个单调区间应分开写，不能用符号“∪”联结，也不能用“或”联结，只能用“逗号”或“和”联结． 2．函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 (1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M (1)对于任意x∈I，都有f(x)≥M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 M为最大值 M为最小值 2． 每日一练 一、单选题 1．若f(x)=是R上的单调函数，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．对，记函数的最小值是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．在上定义运算：，若不等式对任意实数恒成立，则实数的最大值为（ ） A． B． C． D． 4．函数在上单调，则实数a的取值范围（ ） A． B． C． D． 5．已知函数则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 6．已知函数在上为增函数，若不等式对恒成立，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 7．已知函数的定义域为，则不等式的解集为 （ ） A． B． C． D． 8．函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、多选题 9．设函数f(x)在R上为增函数，则下列结论不一定正确的是（ ） A．y=在R上为减函数 B．y=|f(x)|在R上为增函数 C．y=在R上为增函数 D．y=f(x)在R上为减函数 10．如果函数在上是增函数，对于任意的，则下列结论中正确的是（ ） A． B． C． D． E. 11．已知函数，则下列x的范围满足不等式的是（ ） A． B． C． D． 12．下列函数中，在区间上单调递增的是（ ） A． B． C． D． 三、填空题 13．函数在上单调递增，则实数a的取值范围是_________. 14．已知函数在R上是增函数，则实数a的取值范围是_______． 15．写出一个值域为，在区间上单调递增的函数______． 16．函数的单调递减区间为___________. 四、解答题 17．已知函数（m，n为常数），且． （1）求函数的解析式； （2）当时，判断的单调性并证明． 18．已知函数 （1）若，求在上的最小值； （2）若，试讨论函数在上的单调性． 19．已知函数. （1）证明：证明函数在区间上单调递增； （2）若在上恒成立，求实数的取值范围. 20． 已知函数，求函数在区间上的最值. 21．已知二次函数满足，． （1）求的解析式． （2）求在上的最大值． 22．已知函数f(x)=，证明函数在(-2，+∞)上单调递增. 参考答案 1．D因为函数在上是单调递减的，又是R上的单调函数，所以在[1，+∞)上单调递减，即a>0，并且，解得， 综上所述，a的取值范围为. 2．B，当时，，显然当时，有，当时，，显然当时，有， 因此函数的最小值是. 3．D由，则即，所以恒成立，在上的最小值为，所以，整理可得，解得，实数的最大值为， 4．D因为函数在和上单调递减，由题意，在上单调，所以或，解得或，所以a的取值范围为. 5．A易得函数在R上单调递增，则由可得，解得，故不等式的解集为. 6．D因为函数在上为增函数，则不等式对恒成立，即对恒成立，所以对恒成立，令，当，则， 所以，故的取值范围为. 7．C因为，可知在上单调递减，所以不等式成立，即. 8．D解：函数的图像的对称轴为， 因为函数在区间上单调递增，所以，解得，所以的取值范围为， 9．ABC对于A，若f(x)=x，则y==，在R上不是减函数，A错误；对于B，若f(x)=x，则y=|f(x)|=|x|，在R上不是增函数，B错误；对于C，若f(x)=x，则y==，在R上不是增函数，C错误；对于D，函数f(x)在R上为增函数，则对于任意的x1，x2∈R，设x1<x2，必有f(x1)<f