暑假作业七（基本不等式）-（新高一）2021-2022学年人教A版（2019）高中数学必修一

2.2 基本不等式 一．知识梳理 1．基本不等式：≤ (1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号． (3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数． 2．利用基本不等式求最值 已知x≥0，y≥0，则： (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2．(简记：积定和最小) (2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是．(简记：和定积最大) 2． 每日一练 一、单选题 1．由于近年来，冬季气候干燥，冷空气频繁袭来为提高公民的取暖水平，某社区决定建立一个取暖供热站.已知供热站每月自然消费与供热站到社区的距离成反比，每月供热费与供热站到社区的距离成正比，如果在距离社区20千米处建立供热站，这两项费用分别为5千元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，供热站应建在离社区（ ） A．5千米 B．6千米 C．7千米 D．8千米 2．不等式+(x-2)≥6(其中x>2)中等号成立的条件是（ ） A．x=3 B．x=6 C．x=5 D．x=10 3．若，则下列不等式正确的是（ ） A． B． C． D． 4．某公司购买一批机器投入生产，若每台机器生产的产品可获得的总利润s(万元)与机器运转时间t(年数，)的关系为，要使年平均利润最大，则每台机器运转的年数t为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 5．已知，，，则的最小值是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．若，，且，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 7．已知正数a，b满足，则的最小值为（ ） A．8 B．10 C．9 D．6 8．已知m，n∈R，m2+n2=100，则mn的最大值是（ ） A．25 B．50 C．20 D． 二、多选题 9．下列选项中正确的是（ ） A．不等式恒成立 B．存在实数a，使得不等式成立 C．若a､b为正实数，则 D．若正实数x，y满足，则 10．若正实数满足，则下列说法正确的是 （ ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为 11．下列不等式一定成立的有（ ） A． B． C． D． 12．若非负实数、满足，则下列不等式中成立的有（ ） A． B． C． D． 三、填空题 13．若正数x，y满足，则的最小值是__________． 14．已知，则的最小值为_____________． 15．已知实数x，y满足x2+xy=1，则y2﹣2xy的最小值为___________. 16．若，则的最小值是___________. 四、解答题 17．若，，求的值． 18．地铁给市民出行带来很多便利．已知某条线路通车后，地铁的发车时间间隔t（单位：分钟）满足，．经测算，地铁载客量与发车时间间隔t相关，当时地铁为满载状态，载客量为1200人，当时，载客量会减少，减少的人数与的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为560人，记地铁载客量为． （1）求的表达式，并求当发车时间间隔为6分钟时，地铁的载客量 （2）若该线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？ 19．已知a，b为正实数，且满足．证明： （1）； （2） 20．已知，，，证明： （1）； （2）. 21．已知，且. （1）求的最大值； （2）求的最小值. 22．（1）已知，则取得最大值时的值为？ （2）已知，则的最大值为？ （3）函数 的最小值为？ 参考答案 1．A设供热站应建在离社区x千米处，则自然消费，供热费，由题意得：当时，，，所以，所以， 所以两项费用之和，当且仅当，即时等号成立，所以要使这两项费用之和最小，供热站应建在离社区5千米处. 2．C当时，，等号成立的条件是 ， ，解得： 3．D对于A中，由，因为，可得， 所以，即，所以A不正确；对于B中，由，因为，可得，所以，所以B不正确；对于C中，由，可得，又由，可得，所以C不正确；对于D中，因为，可得，则，当且仅当时，即时等号成立， 又因为，所以，所以D正确. 4．D因为每台机器生产的产品可获得的总利润s(万元)与机器运转时间t(年数，)的关系为，所以年平均利润 当且仅当时等号成立， 即年平均利润最大，则每台机器运转的年数t为8， 5．B因为，，，所以,当且仅当时等号成立, 故选:B 6．A由题意可得，则，当且仅当，且，即，时，等号成立，所以的最小值为， 7．A解：因为正数a，b满足，所以，当且仅当，即，时取等号， 8．B由m2+n2≥2mn，得 mn≤=50，当且仅当m=n=±时等号成立. 所以mn的最大值是. 9．BCD不等式恒成立