3.2.2 双曲线的简单几何性质 暑假作业-（新高二）2021-2022学年人教A版（2019）高中数学选择性必修一

3.2.2 双曲线的简单几何性质 一．知识梳理 双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0) 图形 性质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：原点 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞) 实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的半实轴长，b叫做双曲线的半虚轴长 a、b、c的关系 c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0) 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为y＝±x，离心率为e＝. 2． 每日一练 一、单选题 1．经过点且与双曲线有共同渐近线的双曲线方程为（ ） A． B． C． D． 2．若双曲线上存在四个点A，B，C，D满足四边形是正方形，则双曲线C的离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3．已知圆：与双曲线：的渐近线相切，则的离心率为（ ） A．2 B． C． D． 4．已知双曲线的离心率为，则点到双曲线C的渐近线的距离为（ ） A．2 B． C． D． 5．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点在的右支上，直线与的左支交于点，若，且，则的离心率为（ ） A． B． C． D． 6．已知双曲线C与椭圆有共同的焦点，且焦点到该双曲线渐近线的距离等于1，则双曲线C的方程为（ ） A． B． C． D． 7．已知双曲线(a>4)的实轴长是虚轴长的3倍，则实数a=（ ） A．5 B．6 C．8 D．9 8．已知双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知曲线分别为曲线的左右焦点，则下列说法正确的是（ ） A．若，则曲线的两条渐近线所成的锐角为 B．若曲线的离心率，则 C．若，则曲线上不存在点，使得 D．若为上一个动点，则面积的最大值为 10．已知双曲线，圆.（ ） A．圆的圆心在双曲线上 B．若双曲线的焦距为4，则 C．双曲线的顶点与圆的圆心构成的三角形的面积为 D．若圆与轴和双曲线的渐近线均相切，则离心率 11．已知双曲线的左右焦点分别为、，点P为C上的一点，且，则下列说法正确的是（ ） A．双曲线的离心率为 B．双曲线的渐近线方程为 C．的周长为30 D．点P在椭圆上 12．已知圆锥曲线，则下列说法可能正确的有（ ） A．圆锥曲线的离心率为 B．圆锥曲线的离心率为 C．圆锥曲线的离心率为 D．圆锥曲线的离心率为 三、填空题 13．已知双曲线的一条渐近线为，则C的焦距为_________． 14．已知双曲线方程为，则该双曲线的渐近线方程为______________； 15．在平面直角坐标系中，若双曲线的焦距为8，___________. 16．写出一个与双曲线共渐近线的双曲线的标准方程___________. 四、解答题 17．求双曲线的顶点坐标､焦点坐标､实轴长､虚轴长､离心率和渐近线方程. 18．已知双曲线的左焦点为，右顶点为，过点向双曲线的一条渐近线作垂线，垂足为，直线与双曲线的左支交于点. （1）设为坐标原点，求线段的长度； （2）求证：平分. 19．双曲线：的顶点与椭圆：长轴的两个端点重合，且一条渐近线的方程为． （1）求双曲线的方程； （2）过双曲线右焦点作直线与分别交于左右两支上的点，，又过原点作直线，使，且与双曲线分别交于左右两支上的点，．是否存在定值，使得？若存在，请求的值；若不存在，请说明理由． 20．（1）求与双曲线有相同焦点，且经过点的双曲线的标准方程； （2）已知椭圆的离心率，求的值． 21．已知双曲线的其中一个焦点为，一条渐近线方程为 （1）求双曲线的标准方程； （2）已知倾斜角为的直线与双曲线交于两点，且线段的中点的纵坐标为4，求直线的方程. 参考答案 1．A解：由题意可得：设所求双曲线为，把点，解得，所求的双曲线方程为，即． 2．D设，由题知：，解得：，因为四边形是正方形，所以，解得.又因为，所以，解得，所以. 3．C由得，所以圆心，半径， 双曲线：的一条渐近线为，由题意得圆心到渐近线的距离，所以，所以，所以. 4．C由题离心率，即，又，则，即， 则渐近线方程为，则点到双曲线C的渐近线的距离为. 5．D由双曲线的定义可得，∵，∴，即， 则的离心率为． 6．A解：因为椭圆的方程为，所以椭圆的焦点坐标为， 由题意，双曲线C的焦点在轴上，且，设双曲线C的方程为，则有，其渐近线方程