3.2.1 双曲线及其标准方程 暑假作业-（新高二）2021-2022学年人教A版（2019）高中数学选择性必修一

3.2.1 双曲线及其标准方程 一．知识梳理 双曲线的定义 条件 结论1 结论2 平面内的动点M与平面内的两个定点F1，F2 M点的 轨迹为 双曲线 F1、F2为双曲线的焦点 |F1F2|为双曲线的焦距 ||MF1|－|MF2||＝2a 2a＜|F1F2| [注意]　(1)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线； (2)当2a＞|F1F2|时，P点不存在． 巧设双曲线方程 (1)与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)有共同渐近线的方程可表示为－＝t(t≠0)． (2)过已知两个点的双曲线方程可设为mx2＋ny2＝1(mn＜0)． 2． 每日一练 一、单选题 1．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与该双曲线的右支交于，两点，若，则周长为（ ） A．16 B．24 C．36 D．40 2．“方程表示双曲线”的一个必要不充分条件为（ ） A． B． C． D． 3．“”是“方程表示焦点在轴上的圆锥曲线”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．下图上半部分为一个油桃园.每年油桃成熟时，园主都需要雇佣人工采摘，并沿两条路径将采摘好的油桃迅速地运送到水果集散地处销售.路径1：先集中到处，再沿公路运送；路径2：先集中到处，再沿公路运送.园主在果园中画定了一条界线，使得从该界线上的点出发，按这两种路径运送油桃至处所走路程一样远.已知，，若这条界线是曲线的一部分，则曲线为（ ） A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线 5．已知双曲线上一点到其左焦点的距离为8，则的中点到坐标原点的距离为（ ） A．9 B．6 C．5 D．4 6．在平面直角坐标系中，一动圆与轴切于点，分别过点、作圆的切线并交于点（点不在轴上），则点的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 7．椭圆的焦点是双曲线的焦点，则（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 8．“方程表示双曲线”是“方程表示椭圆”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、多选题 9．已知双曲线上一点到左焦点的距离为10，则的中点到坐标原点的距离为（ ） A．3 B．6 C．7 D．14 10．已知方程，则下列说法中正确的有（ ） A．方程可表示圆 B．当时，方程表示焦点在轴上的椭圆 C．当时，方程表示焦点在轴上的双曲线 D．当方程表示椭圆或双曲线时，焦距均为10 11．已知点A的坐标为，点B的坐标为，直线AP与BP相交于点P，且它们的斜率之积为非零常数m，那么下列说法中正确的有（ ） A．当时，点P的轨迹加上A，B两点所形成的曲线是焦点在x轴上的椭圆 B．当时，点P的轨迹加上A，B两点所形成的曲线是圆心在原点的圆 C．当时，点P的轨迹加上A，B两点所形成的曲线是焦点在y轴上的椭圆 D．当时，点P的轨迹加上A，B两点所形成的曲线是焦点在x轴上的双曲线 12．已知为3与5的等差中项，为4与16的等比中项，则下列对曲线描述正确的是（ ） A．曲线可表示为焦点在轴的椭圆 B．曲线可表示为焦距是4的双曲线 C．曲线可表示为离心率是的椭圆 D．曲线可表示为渐近线方程是的双曲线 三、填空题 13．已知､，设P是椭圆与双曲线的交点之一，则___________. 14．已知双曲线上的点P到点的距离为9，则点P到点的距离为______． 15．已知双曲线 的左、右焦点为F1、F2， P是双曲线右支上，以PF1为直径的圆 过点F2，则双曲线方程为 _________． 16．已知方程表示双曲线，则的取值范围是_______________________． 四、解答题 17．已知双曲线：（，）的一个焦点坐标为，其中一条渐近线的倾斜角的正切值为，为坐标原点． （1）求双曲线的方程； 18．已知双曲线：的两个焦点为，一条渐近线方程为，且双曲线经过点 （1）求双曲线的方程； 19．已知双曲线(，)的离心率为2，过点且斜率为的直线交双曲线于，两点.且. （1）求双曲线的标准方程. 20．已知双曲线的左、右焦点分别为，其离心率为，且过点 （1）求双曲线的方程 21．已知双曲线：的一条渐近线与直线：垂直，且双曲线的右焦点到直线的距离为1． （1）求双曲线的标准方程； 22．已知双曲线的虚轴长为4，直线为双曲线的一条渐近线． （1）求双曲线的标准方程； 参考答案 1．C因为双曲线为，所以；由双曲线的定义得，所以，所以周长为， 2．A由方程表示双曲线，知：，∴，故它的一个必要不充分条件为. 3．A当时，方程表示焦点在轴上的双曲线；当时，可化为，因为椭圆的焦点在轴上，所以即， 故方程表示焦点在轴上的圆锥曲线时，或， 故“”是“方