3.1.1 椭圆及其标准方程 暑假作业-（新高二）2021-2022学年人教A版（2019）高中数学选择性必修一

3.1.1 椭圆及其标准方程 一．知识梳理 条件 结论1 结论2 平面内的动点M与平面内的两个定点F1，F2 M点的轨迹为椭圆 F1、F2为椭圆的焦点 |F1F2|为椭圆的焦距 |MF1|＋|MF2|＝2a 2a＞|F1F2| [注意]　若2a＝|F1F2|，则动点的轨迹是线段F1F2；若2a＜|F1F2|，则动点的轨迹不存在 点与椭圆的位置关系 已知点P(x0，y0)，椭圆＋＝1(a＞b＞0)，则 (1)点P(x0，y0)在椭圆内⇔＋＜1； (2)点P(x0，y0)在椭圆上⇔＋＝1； (3)点P(x0，y0)在椭圆外⇔＋＞1. 2． 每日一练 一、单选题 1．已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ） A．13 B．12 C．9 D．6 2．已知，是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，，点为坐标原点，则（ ） A．1 B． C． D． 3．椭圆的焦点为､，上顶点为，若，则（ ） A． B．2 C． D．3 4．以椭圆的短轴的一个端点和两焦点为顶点的三角形为等边三角形，且椭圆上的点到左焦点的最大距离为6，则椭圆的标准方程为（ ） A． B． C． D． 5．已知，“”是“方程表示椭圆”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知两定点､，动点满足，则点的轨迹方程是（ ） A． B． C． D． 7．古希腊数学家阿基米德用“逼近法”得到椭圆面积的4倍除以圆周率等于椭圆的长轴长与短轴长的积．已知椭圆C的中心在原点，焦点F1，F2在y轴上，其面积为8π，过点F1的直线l与椭圆C交于点A，B且△F2AB的周长为32，则椭圆C的方程为（ ） A． B． C． D． 8．已知中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆，其长轴长为4，焦距为2，则的方程为（ ） A． B．或 C． D．或 二、多选题 9．方程“”表示焦点在y轴上的椭圆的一个充分不必要条件是（ ） A． B． C． D． 10．已知，分别是椭圆的左，右焦点，P为椭圆C上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是（ ） A．的周长为10 B．面积的最大值为 C．当时，的面积为 D．存在点P使得 11．已知F为椭圆的左焦点，A，B为E的两个顶点.若，则E的方程为（ ） A． B． C． D． 12．已知椭圆的左、右焦点分别是，左、右顶点分别是，点是椭圆上异于的任意一点，则下列说法正确的是（ ） A． B．存在点满足 C．直线与直线的斜率之积为 D．若△的面积为，则点的横坐标为 三、填空题 13．已知椭圆C：(3>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，P是椭圆上一点，延长PF2与椭圆交于点A，若|OF1|=|OA|，△OF1A的面积为2，则___________. 14．写出一个长轴长等于离心率8倍的椭圆标准方程为______． 15．已知，是椭圆的左､右焦点，点P在C上，则的周长为___________. 16．椭圆的左、右焦点分别为，点P在椭圆上，如果的中点在y轴上，那么是的________倍 四、解答题 17．已知P是椭圆上的动点，P到坐标原点的距离的最值之比为，P到焦点的距离的最值之差的绝对值为2. （1）求椭圆C的方程； 18．已知圆：，点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于点. （1）求动点的轨迹的方程； 19．已知双曲线的焦点为椭圆的长轴端点，且椭圆E的离心率为． （1）求椭圆E的标准方程； 20．椭圆的左、右焦点分别为、，焦点、和原点将椭圆的长轴恰好四等分，点在椭圆上. （1）求椭圆的标准方程； 21．已知椭圆的左､右焦点分别为，，点为椭圆上一点. （1）求椭圆的方程； 22．已知椭圆：的左､右顶点分别为和，点是椭圆上与､不重合的动点，且､的斜率之积为. （1）求椭圆的标准方程； 参考答案 1．C由题，，则，所以（当且仅当时，等号成立）． 2．A设，由椭圆的定义可得，由余弦定理可得，即，即，解得， 所以，即点与椭圆的上顶点重合，所以. 3．C由条件可知是等边三角形，即，，，，即，且，解得：, 4．C解：由题意知：短轴端点与焦点形成等边三角形，则，椭圆上的点到左焦点最大距离为6，即，则，，.则椭圆的标准方程为：. 5．B解：若方程表示椭圆，则，解得且， 所以“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件， 6．D， ， ， 7．B∵焦点F1，F2在y轴上，∴可设椭圆标准方程为， 由题意可得，∴，即， ∵△F2AB的周长为32，∴4a＝32，则a＝8，∴， 故椭圆方程为． 8．D因椭圆中心在原点