1.4.1用空间向量研究直线 平面的位置关系 暑假作业-（新高二）2021-2022学年人教A版（2019）高中数学选择性必修一

1.4.1用空间向量研究直线.平面的位置关系 1． 知识梳理 直线的方向向量与平面的法向量的确定 (1)直线的方向向量：l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则称为直线l的方向向量，与平行的任意非零向量也是直线l的方向向量，显然一条直线的方向向量可以有无数个． (2)平面的法向量 ①定义：与平面垂直的向量，称做平面的法向量．一个平面的法向量有无数多个，任意两个都是共线向量． ②确定：设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为 空间位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2 l1∥l2 n1∥n2⇔n1＝λn2 l1⊥l2 n1⊥n2⇔n1·n2＝0 直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m l∥α n⊥m⇔n·m＝0 l⊥α n∥m⇔n＝λm 平面α，β的法向量分别为n，m α∥β n∥m⇔n＝λm α⊥β n⊥m⇔n·m＝0 2． 每日一练 一、单选题 1．设a，b是两条直线，，是两个平面，且，，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知平面α内有一点A(2，－1,2)，它的一个法向量为，则下列点P中，在平面α内的是（　　） A．(1，－1,1) B．(1,3，) C．(1，－3，) D．(－1,3，－) 3．已知，，则平面ABC的一个单位法向量为（ ） A． B． C． D． 4．在空间直角坐标系内，平面经过三点，向量是平面的一个法向量，则（ ） A． B． C．5 D．7 5．平面的一个法向量是，平面的一个法向量是，则平面与的位置关系是（ ） A．平行 B．相交且不垂直 C．相交且垂直 D．不确定 6．设直线、的方向向量分别为，，若，则等于（ ） A．－2 B．2 C．6 D．10 7．若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则（ ） A． B． C． D．与斜交 8．平面的一个法向量是,,，平面的一个法向量是,6,，则平面与平面的关系是（ ） A．平行 B．重合 C．平行或重合 D．垂直 二、多选题 9．已知平面过点，其法向量，则下列点不在内的是（ ） A． B． C． D． 10．已知点是平行四边形所在的平面外一点，如果，，．对于结论：① ；② ；③ 是平面的法向量；④ ．其中正确的是（ ） A．① B．② C．③ D．④ 11．(多选)若A(－1，0，1)，B(1，4，7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为（ ） A．(1，2，3) B．(1，3，2) C．(－1，－2，－3) D．(－1，－3，－2) 12．已知为直线l的方向向量，，分别为平面α，β的法向量（α，β不重合），那么下列选项中，正确的是（ ） A．∥⇔α∥β B．⊥⇔α⊥β C．∥⇔l∥α D．⊥⇔l∥α 三、填空题 13．在棱长为9的正方体中，点，分别在棱，上，满足，点是上一点，且平面，则四棱锥外接球的表面积为______. 14．已知直线l在平面外，且是直线l的方向向量，是平面的法向量，则直线l与平面的位置关系为___________. 15．已知直线l与平面α垂直，直线l的一个方向向量为＝(1，－3，z)，向量＝(3，－2，1)与平面α平行，则z＝________. 16．已知分别是平面α，β，γ的法向量，则α，β，γ三个平面中互相垂直的有________对． 四、解答题 17．如图在正方体中，E、F分别是棱，的中点.求证：为平面的一个法向量. 18．如图所示，垂直于正方形所在的平面，，与平面所成角是，是的中点，是的中点.求证：平面. 19．如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点. 证明：（1）； （2）平面； （3）平面平面. 20．如图，在底面是矩形的四棱锥中，底面，、分别是、的中点，，.求证： （1）平面； （2）平面平面. 21．如图所示，正方体的棱长为，过顶点、、截下一个三棱锥． （1）求剩余部分的体积； （2）证明平面． 22．如图，已知四棱锥P－ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD＝2，侧面PBC⊥底面ABCD，E为PB的中点．求： （1）求证：平面ADP； （2）求证：平面PAD⊥平面PAB； 参考答案 1．C，，则是平面的一个法向量，是平面的一个法向量，则由得，必要性满足，反之若，则法向量，充分性满足，应是充要条件． 2．B对于选项A，，则，故排除A； 对于选项B，，则 对于选项C，，则，故排除C； 对于选项D，，则，故排除D； 3．B设平面的法向量为，则有取，则