1.2空间向量的基本运算 暑假作业-（新高二）2021-2022学年人教A版（2019）高中数学选择性必修一

1.2 空间向量基本定理 一、知识梳理 1．空间向量的有关定理 (1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在唯一的实数λ，使得a＝λb． (2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb． (3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc．其中{a，b，c}叫做空间的一个基底． 二．每日一练 （一）、单选题 1．如图，在平行六面体中，点M是棱的中点，连结，交于点P，则（ ） A． B． C． D． 2．已知空间四边形中，，，，点M在OA上，且，N为BC的中点，则等于（ ） A． B． C． D． 3．在平行六面体中，若，则的值等于（ ） A． B． C． D． 4．如图，在四棱柱中，底面是平行四边形，， ，则线段的长度是（ ）． A． B．10 C． D． 5．在正方体中，点为棱的中点，点为棱的中点，若，则（ ） A． B． C． D． 6．已知、、是空间的一个基底，，，，，若，则、、的值分别为（ ） A．，，1 B．，1， C．1，， D．，，1 7．如图：在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点.若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ） A． B． C． D． 8．已知向量，，是空间的一个单位正交基底，向量，，是空间的另一个基底，若向量在基底，，下的坐标为，则在，，下的坐标为（ ） A． B． C． D． （二）、多选题 9．设是空间一个基底，下列选项中正确的是（ ） A．若，，则 B．则两两共面，但不可能共面 C．对空间任一向量，总存在有序实数组，使 D．则，，一定能构成空间的一个基底 10．在以下命题中，不正确的命题有（ ） A．是、共线的充要条件 B．若，则存在唯一的实数，使 C．对空间任意一点和不共线的三点、、，若，则、、、四点共面 D．若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底 11．下列命题正确的是（ ） A．已知，是两个不共线的向量.若，，则，，共面 B．若向量，则，与任何向量都不能构成空间的一个基底 C．若，，则与向量共线的单位向最为 D．在三棱锥中，若侧棱OA，OB，OC两两垂直，则底面是锐角三角形 12．(多选)点A(n，n－1，2n)，B(1，－n，n)，则||的可能取值为（ ） A． B． C．1 D．2 （三）、填空题 13．如图所示，在正方体中，点是侧面的中心，若，求______． 14．已知，，且､､不共面，若，则___________. 15．如图所示，已知在四面体中，点、分别是棱、的中点，若，其中、、为实数，则的值为_________． 16．四棱锥的底面是平行四边形，，若，则 ________． （四）、解答题 17．已知、、、、、、、、为空间的9个点（如图所示），并且，，，，．求证： （1）、、、四点共面，、、、四点共面； （2）． 18．如图，空间四边形的各边及对角线长都为2，E是的中点，F在上，且. （1）用表示； （2）求向量与向量所成角的余弦值. 19．在所有棱长均为2的三棱柱中，，求证： （1）； （2）平面. 20．已知平行六面体，，，，，设，，； （1）试用、、表示； （2）求的长度； 21．如图，在三棱锥中，G是的重心（三条中线的交点），P是空间任意一点.（1）用向量表示向量，并证明你的结论； （2）设，请写出点P在的内部 （不包括边界）的充分必要条件（不必给出证明）. 22．在平行六面体中，，，，，，，，分别为，的中点. （1）构成空间的一个基底，用它们表示，，设， ，. （2）求与的夹角. 参考答案 1．B，可得，点M是棱的中点，所以， 所以. 2．B因为N为BC的中点，所以， 因为，所以， 所以， 3．A可知在平行六面体中，， ， 又，，即，. 4．C因为，所以， 所以， 5．A如图所示：，， 又因为，所以， 所以， 6．D因为，，，， 所以， 因为，所以，解得， 7．A，，， ， 8．C不妨设向量，，；则向量，，．设，即， ∴解得即在，，下的坐标为． 9．BCD由是空间一个基底，知：在A中，若，，则与的夹角不一定是，故A错误；在B中，两两共面，但不可能共面，故B正确； 在C中，根据空间向量的基本定理可知C正确；在D中，因为不共面，假设，，共面，设，化简得，可得共面，与已知矛盾，所以，，不共面，可作为基