第02课三角形的高线、中线和角平分线-【帮课堂】2021-2022学年八年级数学上册同步精品讲义（人教版）

第02课 三角形的高线、中线和角平分线 课程标准 课标解读 1．了解三角形的高、中线、角平分线等有关概念． 2．掌握三角形的高、中线与角平分线的画法；了解三角形的三条高、三条中线、三条角平分线分别交于一点． 1、掌握三角形的高、中线、角平分线概念的简单运用及它们的几何语言表达． 2、掌握钝角三角形的高的画法． 知识点01 三角形的高 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高． 三角形的高的数学语言： 如图2，AD是ΔABC的高，或AD是ΔABC的BC边上的高，或AD⊥BC于D，或∠ADB＝∠ADC＝90°。 AD是ΔABC的高∠ADB＝∠ADC＝90°(或AD⊥BC于D)； 要点诠释： 　　①三角形的高是线段； 　　②三角形有三条高，且相交于一点，这一点叫做三角形的垂心。 　　③三角形的三条高： (ⅰ)锐角三角形的三条高在三角形内部，三条高的交点也在三角形内部； (ⅱ)钝角三角形有两条高在三角形的外部，且三条高的交点在三角形的外部； (ⅲ)直角三角形三条高的交点是直角三角形的直角顶点。 知识点02 三角形的中线 三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线． 三角形的中线的数学语言： 如图3，AD是ΔABC的中线或AD是ΔABC的BC边上的中线或BD＝CD＝ BC。　 AD是ΔABC的中线BD＝CD＝ BC。 要点诠释： 　　①三角形的中线是线段； ②三角形三条中线全在三角形内部； ③三角形三条中线交于三角形内部一点，这一点叫三角形的重心． ④中线把三角形分成面积相等的两个三角形。 知识点03 三角形的角平分线 三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。 三角形的角平分线的数学语言： 如图4，AD是ΔABC的角平分线，或∠BAD＝∠CAD且点D在BC上。 即AD是ΔABC的角平分线∠BAD＝∠DAC＝ ∠BAC (或∠BAC＝2∠BAD＝2∠DAC) 要点诠释： 　　①三角形的角平分线是线段； ②一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部； ③三角形三条角平分线交于三角形内部一点，这一点叫做三角形的内心． ④可以用量角器或圆规画三角形的角平分线。 知识点04 三角形的稳定性 如果三角形的三边固定，那么三角形的形状大小就完全固定了，这个性质叫做三角形的稳定性． 要点诠释： 　　①三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变． 　　②三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理． 　　③四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在窗框未安好之前，先在窗框上斜着钉一根木板，使它不变形． 考法01 三角形的高线的概念 【典例1】下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（ ） A．B．C． D． 【答案】D 【详解】 试题分析：根据三角形的高线的定义可得，则D选项中线段BE是△ABC的高. 考点：三角形的高 【典例2】三角形的三条高线的交点在三角形的一个顶点上，则此三角形是_____． 【答案】直角三角形 【解析】 【分析】 根据直角三角形的高的交点是直角顶点解答． 【详解】 解：∵三角形的三条高线的交点在三角形的一个顶点上， ∴此三角形是直角三角形． 故选A． 【点睛】 本题考查了三角形的高，锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点；直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点． 考法02 三角形的中线的概念和性质 【典例3】如图，AD是△ABC的中线，CE是△ACD的中线，DF是△CDE的中线，若S△DEF=2，则S△ABC等于 A．16 B．14 C．12 D．10 【答案】A 【分析】 根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形依次求解即可． 【详解】 ∵DF是△CDE的中线， ∴S△CDE=2S△DEF， ∵CE是△ACD的中线， ∴S△ACD=2S△CDE=4S△DEF， ∵AD是△ABC的中线， ∴S△ABC=2S△ACD=8S△DEF， ∵△DEF的面积是2， ∴S△ABC=2×8=16． 故选A 【点睛】 本题考查了三角形的面积，熟记三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形是解题的关键． 【典例4】BD是△AB