第18天 第十一预习之与三角形有关的角-2021年七升八数学暑假复习+预习专题（人教版）

第18天 第十一章预习专练二 与三角形有关的角 【知识点梳理】 知识点一、三角形的内角 1. 三角形内角和定理：三角形的内角和为180°． 知识点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题： ①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数； ②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数； ③求一个三角形中各角之间的关系． 2. 直角三角形：如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余.反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形. 知识点诠释：如果直角三角形中有一个锐角为45°，那么这个直角三角形的另一个锐角也是45°，且此直角三角形是等腰直角三角形. 知识点二、三角形的外角 1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是△ABC的一个外角. 知识点诠释： (1)外角的特征： ①顶点在三角形的一个顶点上； ②一条边是三角形的一边； ③另一条边是三角形某条边的延长线． （2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角． 2．性质： （1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． （2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角． 知识点诠释：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理论证明经常使用的理论依据．另外，在证角的不等关系时也常想到外角的性质． 3.三角形的外角和： 三角形的外角和等于360°. 知识点诠释：因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是180°，可推出三角形的三个外角和是360°． 【典型例题】 类型一、三角形的内角和 1．在△ABC中，已知∠A+∠B＝80°，∠C＝2∠B，试求∠A，∠B和∠C的度数． 【思路点拨】题中给出两个条件：∠A+∠B＝80°，∠C＝2∠B，再根据三角形的内角和等于180°，即∠A+∠B+∠C＝180°就可以求出∠A，∠B和∠C的度数． 【答案与解析】 解：由∠A+∠B＝80°及∠A+∠B+∠C＝180°， 知∠C＝100°． 又∵ ∠C＝2∠B， ∴ ∠B＝50°． ∴ ∠A＝80°-∠B＝80°-50°＝30°． 【总结升华】解答本题的关键是利用隐含条件∠A+∠B+∠C＝180°．本题可以设∠B＝x，则∠A＝80°-x，∠C＝2x建立方程求解． 2．在△ABC中，若∠A＝∠B＝∠C，试判断该三角形的形状． 【思路点拨】由∠A＝∠B＝∠C，以及∠A+∠B+∠C＝180°，可求出∠A、∠B和 ∠C的度数，从而判断三角形的形状． 【答案与解析】 解：设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝3x． 由于∠A+∠B+∠C＝180°，即有x+2x+3x＝180°． 解得x＝30°．故∠A＝30°．∠B＝60°，∠C＝90°． 故△ABC是直角三角形． 【总结升华】本题利用设未知数的方法求出三角形三个内角的度数，解法较为巧妙． 3.在△ABC中，∠ABC＝∠C，BD是AC边上的高，∠ABD＝30°，则∠C的度数是多少? 【思路点拨】按△ABC为锐角三角形和钝角三角形两种情况，分类讨论． 【答案与解析】 解：分两种情况讨论： （1）当△ABC为锐角三角形时，如图所示，在△ABD中， ∵ BD是AC边上的高(已知)， ∴ ∠ADB＝90°(垂直定义)． 又∵ ∠ABD＝30°(已知)， ∴ ∠A＝180°-∠ADB-∠ABD＝180°-90°-30°＝60°． 又∵ ∠A+∠ABC+∠C＝180°(三角形内角和定理)， ∴ ∠ABC+∠C＝120°， 又∵ ∠ABC＝∠C，∴ ∠C＝60°． (2)当△ABC为钝角三角形时，如图所示．在直角△ABD中， ∵ ∠ABD＝30°(已知)，所以∠BAD＝60°． ∴ ∠BAC＝120°． 又∵ ∠BAC+∠ABC+∠C＝180°(三角形内角和定理)， ∴ ∠ABC+∠C＝60°． ∴ ∠C＝30°． 综上，∠C的度数为60°或30°． 【总结升华】在解决无图的几何题的过程中，只有正确作出图形才能解决问题．这就要求解答者必须具备根据条件作出图形的能力；要注意考虑图形的完整性和其他各种可能性，双解和多解问题也是我们在学习过程中应该注意的一个重要环节． 类型二、三角形的外角 4.（1）如图，AB和CD交于点O，求证：∠A＋∠C＝∠B＋∠D ． （2）如图，求证：∠D=∠A＋∠B +∠C． 【答案与解析】 解：（1）如图，在△AOC中，∠COB是一个外角，由外角的性质可得：∠COB＝∠A＋