小题压轴题专练3—函数的零点（3）-2022届高三数学一轮复习

小题压轴题专练3—函数的零点（3） 一．单选择 1．已知 ，若函数 有三个不同的零点 ， ， ，则 的取值范围是 　　 A． B． C． D． 解：函数 的图象如图所示， 函数 有三个不同的零点 ， ， ， 即方程 有三个不同的实数根 ， ， ，由图知 ， 当 时， ， EMBED Equation.DSMT4 ， ，当且仅当 时取得最大值， 当 时， ， ， 此时 ， 由 ，可得 ， EMBED Equation.DSMT4 ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， ， EMBED Equation.DSMT4 的取值范围是 ． 故选： ． 2．已知函数 有两个不同的零点，则实数 的取值范围是 　　 A． B． C． D． 解：依题意， 有且仅有两个根，即函数 与函数 的图象有且仅有两个交点， 而 ，易知函数 在 上单调递增，在 上单调递减， 且 时， ， 时， ， 函数 相当于函数 在水平方向向左（或右）平移了 个单位，作出函数 与 的草图如下， 当曲线 与曲线 恰好相切时，设切点为 ， ，则 ，解得 ， 由图象可知，当 时，函数 与函数 的图象有且仅有两个交点，符合题意． 故选： ． 3．已知 恰有三个不同零点，则 　　 A． B． C． D． 解：由已知得 ． 令 得： ，或 ． 令 ，令 得： ， 当 时， ； 时， ． 故 在 上单调递增，在 上单调递减，且 时， ；当 时， ， 且 （3） ，故 在 和 上各有一个零点． 故只需 有且只有一个根，即可满足题意． 即 在 上只有一个公共点， 结合图像可知，当 且 的切线时，符合要求， 设 的切线的切点为 ，由 ，故切线斜率为 ， 故切线方程为 ，因为过原点，所以 ，解得 ． 故切线斜率 ． 故选： ． 4．已知函数 ，若关于 的方程 无实数解，则实数 的取值范围是 　　 A． B． C． D． 解：若 有解， ①若 在 时有解， 即 在 时有解， 即 和 的图像在 时有交点， 设 和 相切于点 ， ， 则 ，解得： ， 故 时，符合题意， ②若 在 时有解， 即 在 时有解， 在 时有解， ， ， 时符合题意， 综上：若 有解，则 ， ， ， 故若 无解，则 ， 故选： ． 5．已知关于 的方程 有3个不同的实数解，则实数 的取值范围为 　　 A． B． C． D． 解：令 ，则原方程等价于 ，即 ， 令 ，作出 的大致图像如下图所示， 又 ，则只需 ，解得 ． 故选： ． 6．已知函数f（x）满足f（1+x）＝f（1﹣x），且x∈[1，e2]时，f（x）＝lnx，若x∈[2﹣e2，e2]时，方程f（x）＝k（x﹣2）有三个不同的根，则k的取值范围为（　　） A．（，] B．（﹣∞，） C．（﹣，﹣] D．（﹣，+∞） 解：∵f（1+x）＝f（1﹣x）， ∴f（x）关于直线x＝1对称， 又当x∈[1，e2]时，f（x）＝lnx，则当x∈[2﹣e2，e2]时，f（x）的图象如图所示， 直线y＝k（x﹣2）为过定点（2，0）的一条直线，当直线与当x∈[2﹣e2，1]时的函数f（x）的图象相切时，直线与f（x）在[2﹣e2，e2]上的图象有两个公共点， 当x∈[2﹣e2，1]时，， 设切点为（x0，ln（2﹣x0）），则切线的斜率为，切线方程为， 把点（2，0）代入得x0＝2﹣e，故； 当直线过点（2﹣e2，2）时，， ∴实数k的取值范围为． 故选：C． 7．已知关于 的方程 在 ， 上有两个不同的实数根，则 的取值范围是 　　 A． B． C． D． 解：方程 可转化为 ， 设 ，则问题可转化为 和 的图象有两个不同的交点，如图， 由图象观察可知， ，解得 ． 故选： ． 8．已知函数 ， ．若对任意的 ， ，都存在唯一的 ， ，使得 成立，则实数 的取值范围是 　　 A． ， B． C． D． 解： ， 当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增， 且 ， 又对任意的 ， ，都存在唯一的 ， ，使得 成立， EMBED Equation.DSMT4 或 ， 又 ， ，故 ， EMBED Equation.DSMT4 ，解得 ． 故选： ． 二．多选题 9．若函数 ， ，则 　　 A．当 时， 有两个零点 B．当 时， 有三个零点 C．当 时， 有一个零点 D．当 时， 有四个零点 解： ， 当 时， 恒成立， 在 上单调递减， ， ， 当 时， 为偶函数，在 ， 上单调递增，在 ， 上单调， （1）， ，即 ， ， ， 当 时， 恒成立， 在 上单调递增， （1） ， 由此作出函数 的草图如下所示， 由图可知，当 时，函数 与 有两个交点，即 有两个零点，即选项 正确； 当 时，函数 与