综合测试卷（巅峰版）-【新教材优创】突破满分数学之2020-2021学年高二数学重难点突破（人教A版2019选择性必修第二册）

综合测试卷(巅峰版) 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（2021·广东高三）已知是自然对数的底数，设，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 首先设，利用导数判断函数的单调性，比较的大小，设利用导数判断，放缩，再设函数，利用导数判断单调性，得，再比较的大小，即可得到结果. 【详解】 设，， 当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减， ，时，，即， 设，，时，，函数单调递减，时，，函数单调递增，所以当时，函数取得最小值，，即恒成立， 即， 令，，时，，单调递减，时，，单调递增，时，函数取得最小值，即， 得：，那么， 即，即， 综上可知. 故选：A 【点睛】 关键点点睛：本题考查构造函数，利用导数判断函数的单调，比较大小，本题的关键是：根据，放缩，从而构造函数，比较大小. 2．（2021·新疆高三（理））若函数，则满足恒成立的实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 先判断函数的奇偶性和单调性，然后利用性质把不等式转化为，求解函数的最大值可得选项. 【详解】 ∵，∴，即为奇函数； 又，即为增函数； 由恒成立， 可得恒成立， ∴恒成立，即恒成立， 设，易知为偶函数，只需求在上的最大值即可. 当时，， 时，，为增函数；时，，为减函数； ∴的最大值为； ∴，即； 故选：D. 【点睛】 利用函数性质求解不等式恒成立问题的步骤：①根据函数解析式判断奇偶性和单调性； ②把函数值的不等关系转化为自变量的不等关系； ③结合恒成立转化为最值问题求解. 3．（2021·山东高三期末）已知函教，若对任意恒成立，则实数的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 先利用函数的解析式判断出函数关于点对称，从而将对任意恒成立，转化为对任意恒成立，再利用导数判断函数的单调性，利用单调性去掉“”，从而得到对任意恒成立，进行参变量分离后再利用换元法以及基本不等式求解最值，即可得到的最小值． 【详解】 因为函数， 所以， 则函数关于点对称， 所以， 故对任意恒成立， 即对任意恒成立， 即对任意恒成立， 因为，则函数在上单调递增， 所以对任意恒成立， 令，则， 所以对任意恒成立， 因为， 当且仅当，即时取等号， 所以， 则实数的最小值为． 故选：． 【点睛】 不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；② 数形结合( 图象在 上方即可)；③ 讨论最值或恒成立；④ 讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围. 4．（2021·陕西高三）已知定义域为的函数满足，且，为自然对数的底数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 整理已知等式后，构造函数，求出，再讨论恒成立问题. 【详解】 由，得 设，， 则，从而有. 又因为，所以，，， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以. 因为不等式恒成立，所以， 即，又因为，所以. 故选: B 【点睛】 本题关键是构造函数 ，求出 ，转化为恒成立问题,进而变量分离确定参数范围, 5．（2021·四川高三（理））若函数有个零点，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 求得，对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数在上的单调性，根据已知条件可得出关于不等式，由此可解得实数的取值范围. 【详解】 函数的定义域为， 则， 令，则， 所以，函数在上为增函数，且. ①当时，即当时，对任意的恒成立， 所以函数为上的增函数，则函数在上至多只有一个零点，不合乎题意； ②当时，即当时，则存在使得， 当时，，此时，则函数在上单调递减， 当时，，此时，则函数在上单调递增， 由于函数有两个零点， 当时，；当时，. 可得， 可得，解得. 故选：D. 【点睛】 方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法： （1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题. 6．（2020·全国高三（理））已知数列满足，，若数列的前50项和为1273，则（ ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】 由已知条件可得、，进而求数列的前50项的和可得，再结合已知求. 【详解】 由题设，得，则是各项均为2的常数列． 由，得，又， ∴，则是以1