第五章 一元函数的导数及其应用单元测试（巅峰版）-【新教材优创】突破满分数学之2020-2021学年高二数学重难点突破（人教A版2019选择性必修第二册）

第五章 一元函数的导数及其应用（巅峰版） 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（2021·广东高三）已知是自然对数的底数，设，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 首先设，利用导数判断函数的单调性，比较的大小，设利用导数判断，放缩，再设函数，利用导数判断单调性，得，再比较的大小，即可得到结果. 【详解】 设，， 当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减， ，时，，即， 设，，时，，函数单调递减，时，，函数单调递增，所以当时，函数取得最小值，，即恒成立， 即， 令，，时，，单调递减，时，，单调递增，时，函数取得最小值，即， 得：，那么， 即，即， 综上可知. 故选：A 【点睛】 关键点点睛：本题考查构造函数，利用导数判断函数的单调，比较大小，本题的关键是：根据，放缩，从而构造函数，比较大小. 2．（2021·安徽高三（理））已知函数则不等式f(2020+x)+f(2021)≤1的解集是（ ） A． B．[4039，+∞) C．(-∞，4042] D．[4042，+∞) 【答案】A 【分析】 利用导数确定函数是减函数，证明，这样不等式可化为形式再利用单调性可解． 【详解】 ，，（当且仅当，即时等号成立）， 所以．所以是减函数． ，即， 不等式化为， 又递减，所以，解得． 故选：A． 【点睛】 方法点睛：本题考查解函数不等式，解题关键是确定函数的性质，首先利用导数确定函数的单调性，然后对函数式进行变形得，这是解题的关键．由此性质不等式可化为，这样再利用单调性解出不等式． 3．（2021·江西高二期末（文））已知函数，若存在，使得成立，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 原问题等价于存在，使得成立，令，求导，分析导函数的正负，得出的单调性，从而求出函数的最小值，由此可求得实数a的取值范围. 【详解】 由得，即，所以原问题等价于存在，使得成立， 令，则，令，解得， 所以当时，，在单调递减，当时，，在单调递增， 所以，所以， 故选：B. 【点睛】 方法点睛：对于不等式有解的问题，常常有以下情况：有解⇔，有解⇔. 4．（2021·陕西高三月考（理））若关于的方程有三个不相等的实数解，，，且，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 化简方程，令，得到．构造函数，则，利用函数的单调性，结合函数的图象，要使关于的方程有三个不相等的实数解，，，且，结合图象可得关于的方程一定有两个实根，（），结合韦达定理，推出所求表达式的关系式，然后求解即可． 【详解】 由方程，可得. 令，则有，即. 令函数，则， 由，解得，，解得 所以在上单调递增，在上单调递减，且 作出图象如图所示，要使关于的方程有三个不相等的实数解，，，且， 结合图象可得关于的方程一定有两个实根，， 且，，，. 所以，解得或 若，则,解得，则 此时只有1个实数根，此时原方程没有3个不等实数根，故不满足题意. 若，则，可得，显然此时原方程没有3个不等实数根，故不满足题意. 要使原方程有3个不等实数根，则 所以，，解得. 所以， 故. 故选：A 【点睛】 关键点睛：本题主要考查利用导数研究方程的解，解答本题的关键是利用换元法设，将方程化为，根据题意得出方程一定有两个实根，（），设函数判断出函数的单调性，结合图象将,示为关于m的函数，求出函数的范围，属于难题. 5．（2021·全国高三（理））若存在且，使成立，则在区间上，称为的“倍函数”．设，，若在区间上，为的“倍函数”，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 利用导数可证得在上单调递增，设，可将不等式化为，可将问题转化为在上存在单调递增区间，结合导数可进一步化为在上有解，令，可得，则，利用导数求得最大值，从而得到结果. 【详解】 在恒成立，在上单调递增， 由对数函数单调性知：在上单调递增； 不妨设， 由得：， ． 令，则，在上存在单调递增区间， 即在上有解， 即在上有解，， 令，则， 令，则， ，当时，单调递增， ，，即实数的取值范围为. 故选：B. 【点睛】 关键点点睛：解决本题的关键一是理解新定义并结合题中函数的性质去掉绝对值符号；二是合理对问题进行转化，并构造函数，将问题最终转化为存在性问题，利用分离变量的方式将问题转化为参数与函数最值之间的关系，从而利用导数来求解． 6．（2021·全国高三（文））若曲线在点处的切线与直线平行，且对任意的，不等式恒成立，则实数m的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 由函数解析式得且定义域为，结合已知有求a值，进