突破5.3.2 函数的极值与最值重难点突破-【新教材优创】突破满分数学之2020-2021学年高二数学重难点突破（人教A版2019选择性必修第二册）

突破5.3.2 函数的极值与最值 一、知识点网络 1．函数极值的概念 若函数 在点 的函数值 比它在点 附近其他点的函数值都小， ；而且在点 附近的左侧________，右侧________，就把点 叫做函数 的极小值点， 叫做函数 的极小值． 若函数 在点 的函数值 比它在点 附近其他点的函数值都大， ；而且在点 附近的左侧________，右侧________，就把点 叫做函数 的极大值点， 叫做函数 的极大值． 极大值点和极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值． 2．可导函数在某点处取得极值的必要条件和充分条件 必要条件：可导函数 在 处取得极值的必要条件是________． 充分条件：可导函数 在 处取得极值的充分条件是 在 两侧异号． 3．函数极值的求法 一般地，求函数 的极值的方法是： 解方程 ．当 时： （1）如果在 附近的左侧 ，右侧 ，那么 是________； （2）如果在 附近的左侧 ，右侧 ，那么 是_________． 4．函数的最值与导数 一般地，如果在区间 上函数 的图象是一条________的曲线，那么它必有最大值与最小值． 5．求函数最值得步骤 求函数 在 上的最大值与最小值的步骤如下： （1）求函数 在 内的________； （2）将函数 的各极值与端点处的函数值 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 二、重难点题型突破 （一）、求函数的极值 例1．（2020·全国高二课时练习）函数f(x)＝1－x＋x2的极小值为（ ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】 求出导函数，判断导函数符号，结合极值的定义可得结果. 【详解】 f′(x)＝－1＋2x＝2 ，令f′(x)＝0，得x＝ ． 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x f′(x) － 0 ＋ f(x) 单调递减 极小值 单调递增 当x＝ 时，f(x)有极小值 ． 故选：B． 【变式训练1-1】．（2020·全国高二课时练习）函数y＝x＋ (－2<x<0)的极大值为（ ） A．－2 B．2 C．－ D．不存在 【答案】A 【分析】 求出导函数，判断导函数符号，结合极值的定义得答案. 【详解】 y′＝1－ ＝ ．令y′＝0得x＝－1． 在(－2，－1)上，y′>0；在(－1，0)上，y′<0，故函数在x＝－1处取得极大值－2． 故选：A 【变式训练1-2】．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈九中高二月考（文））关于函数 ，下列说法错误的是（ ） A． 是 的极小值点 B．函数 有且只有 个零点 C．存在正实数 ，使得 恒成立 D．对任意两个正实数 ， ，且 ，若 ，则 【答案】C 【分析】 对于A，分析 导函数可作判断；对于B，考查函数 的单调性可作判断；对于C，分离参数，再分析函数 最值情况而作出判断；对于D，构造函数 讨论其单调性，确定 即可判断作答. 【详解】 对于A选项： 定义域为 ， ， 时, 时 ， 是 的极小值点，A正确； 对于B选项：令 ， 在 上递减， ， 有唯一零点，B正确； 对于C选项：令 ， 令 ， 时, 时, ， 在 上递减，在 上递增，则 ， ， 在 上递减， 图象恒在x轴上方， 与x轴无限接近，不存在正实数k使得 恒成立，C错误； 对于D选项：由A选项知， 在 上递减，在 上递增， 因正实数 ， ，且 ， ，则 ， 时，令 ， ， 即 在 上递减， 于是有 ，从而有 ， 又 ，所以 ，即 成立，D正确. 故选：C （二）、函数极值的应用 例2．（2021·全国高二专题练习）已知函数 ，则（ ） A． 在 上为增函数 B． 在 上为减函数 C． 在 上有极大值 D． 在 上有极小值 【答案】A 【分析】 求导后，令 ，需要再次求导，从而求得 的正负，来判断原函数的单调性及极值情况. 【详解】 ， ，令 ，则 ， 因此在 上， ， 单减；在 上， ， 单增； 又 ，因此 ，即 ， 故在 及 上， 单增， 无极值， 故选：A 【点睛】 关键点点睛：求导后，需要对导数再次求导，从而求得原函数的单调性及极值情况. 【变式训练2-1】．（多选题）（2021·广东珠海市·高三二模）已知函数 ，则（ ） A． 恒成立 B． 是 上的减函数 C． 在 得到极大值 D． 只有一个零点 【答案】CD 【分析】 利用导数分析函数 的单调性与极值，由此可判断BC选项的正误，取 可判断A选项的正误，解方程 可判断D选项的正误. 【详解】 ，该函数的定义域为 ， . 当 时， ，此时函数 单调递增， 当 时， ，此时函数 单调递减， ，故B选项错误，C选项正确； 当 时， ，此时 ，A选项错误； 由 ，可得 ，解得 ，D选项正确.