突破5.3.1 函数的单调性重难点突破-【新教材优创】突破满分数学之2020-2021学年高二数学重难点突破（人教A版2019选择性必修第二册）

突破5.3.1 函数的单调性 一、知识点网络 1．函数的单调性与其导数的关系 在某个区间 内，如果___________，那么函数 在这个区间内单调递增；如果___________，那么函数 在这个区间内单调递减． 注意：在某个区间内， （ ）是函数 在此区间内单调递增（减）的充分条件，而不是必要条件．函数 在 内单调递增（减）的充要条件是 （ ）在 内恒成立，且 在 的任意子区间内都不恒等于0． 2．函数图象与 之间的关系 一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较___________，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”（向上或向下）；反之，函数的图象就“平缓”一些． 二、重难点题型突破 （一）、利用导数判断函数的单调性 例1．（2021·全国高三专题练习（文））（2018年新课标I卷文）已知函数 ． （1）设 是 的极值点．求 ，并求 的单调区间； （2）证明：当 时， ． 【答案】(1) a= ；f（x）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增．(2)证明见解析. 【详解】 分析：(1)先确定函数的定义域，对函数求导，利用f ′（2）=0，求得a= ，从而确定出函数的解析式，之后观察导函数的解析式，结合极值点的位置，从而得到函数的增区间和减区间； (2)结合指数函数的值域，可以确定当a≥ 时，f（x）≥ ，之后构造新函数g（x）= ，利用导数研究函数的单调性，从而求得g（x）≥g（1）=0，利用不等式的传递性，证得结果. 详解：（1）f（x）的定义域为 ，f ′（x）=aex– ． 由题设知，f ′（2）=0，所以a= ． 从而f（x）= ，f ′（x）= ． 当0<x<2时，f ′（x）<0；当x>2时，f ′（x）>0． 所以f（x）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增． （2）当a≥ 时，f（x）≥ ． 设g（x）= ，则 当0<x<1时，g′（x）<0；当x>1时，g′（x）>0．所以x=1是g（x）的最小值点． 故当x>0时，g（x）≥g（1）=0． 因此，当 时， ． 点睛：该题考查的是有关导数的应用问题，涉及到的知识点有导数与极值、导数与最值、导数与函数的单调性的关系以及证明不等式问题，在解题的过程中，首先要保证函数的生存权，先确定函数的定义域，之后根据导数与极值的关系求得参数值，之后利用极值的特点，确定出函数的单调区间，第二问在求解的时候构造新函数，应用不等式的传递性证得结果. 【变式训练1-1】．（2020·全国高二课时练习）函数y= x2 ㏑x的单调递减区间为（ ） A．（ 1,1] B．（0,1] C．[1，+∞） D．（0，+∞） 【答案】B 【详解】 对函数 求导，得 （x>0）,令 解得 ，因此函数 的单调减区间为 ，故选B 考点定位：本小题考查导数问题，意在考查考生利用导数求函数单调区间，注意函数本身隐含的定义域 【变式训练1-2】．（2021·深圳市皇御苑学校高二期末）函数 的单调减区间是______． 【答案】 【详解】 分析：先求出函数的定义域，函数的导函数，令导函数小于0求出 的范围，写成区间形式，可得到函数 的单调减区间. 详解：函数的定义域为 ， ，令 ，得 函数 的单调递减区间是 ，故答案为 . 点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于简单题.利用导数求函数的单调区间的步骤为：求出 ，在定义域内，分别令 求得 的范围，可得函数 增区间， 求得 的范围，可得函数 的减区间. 【变式训练1-3】．（2021·赣州市赣县第三中学高二开学考试（文））函数 的单调递减区间是______． 【答案】 【分析】 求出导函数 ，在 上解不等式 可得 的单调减区间． 【详解】 ，其中 ， 令 ，则 ，故函数 的单调减区间为 ， 故答案为： ． 【点睛】 一般地，若 在区间 上可导，我们用 求，则 在 上的减区间，反之，若 在区间 上可导且为减函数，则 ，注意求单调区间前先确定函数的定义域． （二）、函数与导函数图象之间的关系 例2．（2021·浙江高三专题练习） 函数 的图象如图所示，则函数 的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 原函数先减再增，再减再增，且 位于增区间内，因此选D． 【名师点睛】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系：若导函数图象与 轴的交点为 ，且图象在 两侧附近连续分布于 轴上下方，则 为原函数单调性的拐点，运用导数知识来讨论函数单调性时，由导函数 的正负，得出原函数 的单调区间． 【变式训练2-1】．（2021·全国高二专题练习）函数 在定义域 内可导，其图象如图所示，记 的导函数为 ，则不等式 的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据导数大于0