突破5.2.3 简单复合函数的导数重难点突破-【新教材优创】突破满分数学之2020-2021学年高二数学重难点突破（人教A版2019选择性必修第二册）

突破5.2.3 简单复合函数的导数 一、知识点网络 1．复合函数的概念 对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成 x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))． 2．复合函数的求导法则 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 如果函数 在点x处可导，函数f (u)在点u= 处可导，则复合函数y= f (u)=f [ ]在点x处也可导，并且 (f [ ])ˊ= EMBED Equation.3 或记作 = • 熟记链式法则 若y= f (u)，u= EMBED Equation.3 y= f [ ]，则 = 若y= f (u)，u= ，v= EMBED Equation.3 y= f [ ]， = 3．常用的导数公式及求导法则： （1）公式 ① ，（C是常数） ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩（ （2）法则： ， 二、题型分析 例1．（2021·四川成都市·石室中学高二期中）下列求导运算不正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据基本初等函数的导数以及求导运算法则判断即可. 【详解】 由基本初等函数导数可知： ， ，故AB正确； 由复合函数求导法则可知： ，故C错误； 又幂函数的导数可知： ，故D正确； 故选：C. 【变式训练1-1】．（2020·全国高二课时练习）函数 的导数 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 先根据复合函数的求导法则求解出 ，然后再利用辅助角公式化简得到结果. 【详解】 解析： ， 故选：A． 【变式训练1-2】．（2020·全国高二课时练习）函数 的导数是（ ） A． B．－ C． D．－ 【答案】C 【分析】 先根据指数幂的运算求解出 ，然后根据基本初等函数的求导公式求解出 . 【详解】 解析：因为 ， 所以 ， 故选：C. 【变式训练1-3】．（2020·全国高二课时练习）函数 的导数是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 将函数变形为 ，然后根据复合函数的求导法则求解出 . 【详解】 解析：因为 ，所以 ， 所以 ， 故选：C. 例2．（多选题）（2021·济南市·山东师范大学附中高二月考）下列函数求导运算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】 根据导数的计算可选出答案. 【详解】 故选：BC 【变式训练2-1】．（2021·吴江市高级中学高二专题练习）下列导数运算正确的有（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】 根据导数的运算法则逐项运算排除可得答案. 【详解】 对于A， ，故错误； 对于B， ，故正确； 对于C， ，故正确； 对于D， ，故错误. 故选：BC. 【变式训练2-2】．（2021·全国高二课时练习）已知f (x)＝ln(3x－1)，则f ′（1）＝________. 【答案】 【分析】 直接利用复合函数的求导公式求导即可. 【详解】 ，则 ， 所以 . 故答案为： . 【变式训练2-3】．（2020·黑龙江大庆市·大庆实验中学高二期末（理））已知函数 ， 为 的导函数，则 ________. 【答案】1 【分析】 由导数的运算公式，求得 ，代入即可求解. 【详解】 由导数的运算公式，可得 ，所以 . 故答案为：1. 【点睛】 本题主要考查了导数的运算公式，以及三角函数求值，其中解答中熟记导数的运算公式，准确计算是解答的关键，着重考查计算能力，属于基础题. 例3．（2020·全国高二课时练习）求下列函数的导数． （1） ； （2） ． 【答案】（1） ；（2） ． 【分析】 （1）先化简 ，然后根据基本初等函数的导数公式以及导数的减法法则求解出 ； （2）根据基本初等函数的导数公式以及导数的除法法则求解出 . 【详解】 解：（1）∵ ， ∴ ． （2）∵ ∴ . 【变式训练3-1】．（2021·全国高二课时练习）求下列函数的导数： （1） （2） （3） （4） （5） （6） 【答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ；（6） . 【分析】 运用复合函数的求导方法即可求出结果. 【详解】 （1）函数 可以看作函数 和 的复合函数， 则 （2）函数 可以看作函数 和 的复合函数， . 则 . （3）函数 可以看作函数 和 的复合函数， . 则 . （4）函数 可以看作函数 和 的复合函数，