突破5.1 导数的概念及其几何意义重难点突破-【新教材优创】突破满分数学之2020-2021学年高二数学重难点突破（人教A版2019选择性必修第二册）

突破5.1 导数的概念及其几何意义 一、考情分析 2、 经验分享 考点一、平均变化率 1.变化率 事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值； 2.平均变化率 一般地，函数f(x)在区间 上的平均变化率为： 3.如何求函数的平均变化率 求函数的平均变化率通常用“两步”法： ①作差：求出 和 ②作商：对所求得的差作商，即 。 考点二、导数的概念 定义：函数 在 处瞬时变化率是 ，我们称它为函数 在 处的导数,记作 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 考点三、求导数的方法： 求导数值的一般步骤： 1 求函数的增量： ； 2 求平均变化率： ； 3 求极限，得导数： 。 也可称为三步法求导数。 考点四、求曲线的曲线方程 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 三、题型分析 重难点题型突破01 平均变化率 例1．（2021·全国高二专题练习）如图，函数y＝f (x)在[1，5]上的平均变化率为（ ） A． B． C．2 D．－2 【答案】B 【分析】 根据平均变化率的定义 计算即得. 【详解】 . 故选B. 【变式训练1-1】．（2020·全国高二课时练习）若可导函数f(x)的图象过原点，且满足 EMBED Equation.DSMT4 ＝－1，则f′(0)＝（ ） A．－2 B．－1 C．1 D．2 【答案】B 【分析】 由题得f(0)＝0，再利用导数定义求解. 【详解】 解析：∵f(x)的图象过原点，∴f(0)＝0， ∴f′(0)＝ ＝－1． 故选：B 重难点题型突破02 瞬时变化率与导数的概念 例2．（2021·河南洛阳市·高二月考（理））已知函数 的导函数为 ，且 ，则 （ ） A．-1 B． C． D．3 【答案】B 【分析】 由题意结合导数的定义运算即可得解. 【详解】 根据导数的定义， 所以 . 故选：B. 【变式训练2-1】．（2021·全国高二专题练习）若函数y＝f (x)在x＝x0处可导，则 等于（ ） A．f ′(x0) B．2f ′(x0) C．－2f ′(x0) D．0 【答案】B 【分析】 转化为 ，然后根据导数的定义得解. 【详解】 故选B. 【变式训练2-2】．（2021·河南新乡市·高三三模（文））已知函数 ，若 ，则 （ ） A．36 B．12 C．4 D．2 【答案】C 【分析】 根据函数 在 处的导数的定义将 变形为 即可求解. 【详解】 解：根据题意， ，则 ，则 ， 若 ，则 ， 则有 ，即 ， 故选：C. 【变式训练2-3】．（2020·全国高二课时练习）函数 在 ________处的导数值等于其函数值． 【答案】 或 【分析】 设 ，利用导数求得 ，由已知条件得出 ，即可解得 的值. 【详解】 设 ，则 ， 所以， ， 由 ，解得 或 . 故答案为： 或 . 重难点题型突破03 导数的几何意义-求曲线的切线方程 例3．（2021·全国高二期末）设函数 ，则 在 处的切线斜率为（ ） A．0 B．2 C．3 D．1 【答案】B 【分析】 先求解出 ，然后计算出 的值即为 在 处的切线斜率. 【详解】 因为 在 图象上且 ，所以 ， 所以 在 处的切线斜率为 ， 故选：B. 【变式训练3-1】．（2021·甘肃兰州市·兰州一中高二期中（文））曲线 在点 处的切线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 求出函数 的导数 ，计算出 的值，然后利用点斜式写出所求切线方程. 【详解】 ， ，则 ， 因此，所求切线方程为 ， 故选：A. 【变式训练3-2】．（2020·全国高二课时练习）(多选)曲线y=f(x)=x3在点P处的切线斜率k=3，则点P的坐标是（ ） A．(1，1) B．(-1，-1) C．(-2，-8) D．(2，8) 【答案】AB 【分析】 设出点P的坐标，再对函数f(x)求导，利用导数的几何意义即可作答. 【详解】 点P在曲线f(x)=x3上，设 ，而 ， 由导数的几何意义得 ，即 ，解得 ， 所以点P的坐标是(1，1)或(-1，-1). 故选：AB 【变式训练3-3】．（2021·河南洛阳市·高二月考（理））已知函数 ，则 在点 处的切线的倾斜角为___________. 【答案】 【分析】 根据导数的几何意义，求出 在点 处的切线的斜率，然后再根据斜率和倾斜角之间的关系，即可求出结果. 【