专题07 方程与不等式-2021年初升高数学无忧衔接（沪教版2020）

专题07 方程与不等式 课程要求 《初中课程要求》 一元二次不等式、一元二次函数与一元二次方程三者之间有着密切联系，理解并掌握利用二次函数的图象确定一元二次不等式解集的方法即图象法，其本质就是要能利用数形结合的思想方法认识方程的解，不等式的解集与函数图象上对应点的横坐标的内在联系. 二次函数图象是连接三个“二次”的纽带，是理解和解决问题的关键，要深入理解三者之间的区别及联系，掌握函数、方程及不等式的思想和方法.一元二次不等式的解题步骤： ①.将含x的式子用y来表示，构建一个一元二次函数； ②.令这个函数中的y=0，构建一个一元二次方程，求出对应方程的解，即找到图中的关键点——函数的零点； ③.利用图象开口与零点画出对应函数的草图； ④观察草图，得出不等式所对应的解集. 《高中课程要求》 一元二次不等式的解法是初中阶段一元一次不等式或一元一次不等式组的延续和深化，也与高中后面的线性规划、直线与圆锥曲线以及导数等内容密切相关，许多问题的解决都会借助一元二次不等式的解法.一元二次不等式的解法在整个高中数学中具有很强的基础性和工具性. 热身练习 一、单选题 1．（2020·重庆复旦中学高一开学考试）分式方程的根是（ ） A． B． C． D．此方程无解 【答案】D 【分析】分式方程去分母化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得分式方程的解. 【详解】去分母得：， 去括号得：， 解得：， 经检验时原方程无意义，是增根， 所以原方程无解， 故选：D. 2．（2020·北京清华附中高一开学考试）分式的值为0，则的值为（ ） A．或2 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】将该分式化为，求解即可. 【详解】 ，解得 故选：B 【点睛】本题主要考查了分式方程的解法，涉及了一元二次方程的解法，属于基础题. 3．（2020·云南昆明市·昆明一中高一开学考试）若，则（ ） A．2 B． C． D．3 【答案】C 【分析】消元可得二元方程组，再消元可得的值. 【详解】由方程组，①②得，代入③得 ， 再代入①得 ，即原方程组得解为: 或， 故选: C 【点睛】代入消元是解方程组得基本方法，此题为基础题. 二、填空题 4．（2020·重庆复旦中学高一开学考试）不等式组的解集是________． 【答案】 【分析】根据不等式组的解法直接计算即可. 【详解】 故答案为： 三、解答题 5．（2020·东莞市光明中学高一开学考试）解方程：. 【答案】. 【分析】方程两边同乘以得：求解出方程，然后再检验. 【详解】在方程两边同乘以，得： ， 解得：，， 经检验是不是原方程的解，是原方程的解， ∴分式方程的解为. 【点睛】本题考查解含分式的方程，注意要检验，属于基础题. 6．（2020·东莞市光明中学高一开学考试）解不等式组：并在数轴上表示解集. 【答案】，答案见解析. 【分析】分别求出各不等式的解集，再在数轴上取其公共部分，即可得解； 【详解】解： 解①得： 解②得：，所以不等式的解集为： 在数轴上表示为： 【点睛】本题考查一元一次不等式组的解法，属于基础题. 知识精讲 一、二元二次方程组的解法 方程 是一个含有两个未知数,并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程,这样的方程叫做二元二次方程．其中,,叫做这个方程的二次项,,叫做一次项,6叫做常数项． 我们看下面的两个方程组： 第一个方程组是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的，第二个方程组是由两个二元二次方程组成的，像这样的方程组叫做二元二次方程组． 下面我们主要来研究由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组的解法． 一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组一般可以用代入消元法来解． 2、 一元二次不等式的解法 为了方便起见，我们先来研究二次项系数a＞0时的一元二次不等式的解． 我们知道，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)，设△＝b2－4ac，它的解的情形按照△＞0，△=0，△＜0分别为下列三种情况——有两个不相等的实数解、有两个相等的实数解和没有实数解，相应地，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴分别有两个公共点、一个公共点和没有公共点(如图2.3－2所示)，因此，我们可以分下列三种情况讨论对应的一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0（a＞0）与ax2＋bx＋c＜0（a＞0）的解． （1）当Δ＞0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴有两个公共点(x1，0)和(x2，0)，方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根x1和x2(x1＜x2)，由图2.3－2①可知（1） 不等式ax2＋bx＋c＞0的解为 x＜x1，或x＞x2； 不等式ax2＋bx＋c＜0的解为