专项整合练习01 空间向量与立体几何-2021年高二数学暑假作业（新人教B版2019）

专项整合练习01 空间向量与立体几何 一、单选题 1．已知空间四边形 的每条边和对角线的长都等于 ，点 分别是 的中点，则 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 故选：C 2．已知 为空间任意一点，若 ，则 四点（ ） A．一定不共面 B．一定共面 C．不一定共面 D．无法判断 【答案】B 【详解】 由空间向量共面定理的推论若 ，满足 ，则 四点共面， EMBED Equation.DSMT4 ，而 ，故 四点共面. 故选：B. 3．已知l∥π，且l的方向向量为(2，m，1)，平面π的法向量为 ，则m＝ A．－8 B．－5 C．5 D．8 【答案】A 【详解】 ∵l∥π，∴直线l的方向向量与平面π的法向量垂直． ∴2＋ ＋2＝0，m＝－8． 故选：A 4．在直角坐标系中，已知 ， ，沿 轴把直角坐标系折成平面角为 的二面角 ，使 ，则 为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 过 分别作 轴的垂线，垂足分别为 ， 则 ， ， ， ， ， ； ， EMBED Equation.DSMT4 ， 即 ，解得： 故选：C. 5．已知△ABC的顶点A(1，－1，2)，B(5，－6，2)，C(1，3，－1)，则BC边上的中线长为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 易得BC的中点D坐标为 ， ＝ ， 故BC边上的中线长为|AD|＝| |＝ ＝ ＝ . 故选：B. 6．在长方体 中， ， ，则直线 与平面 所成角的正弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 以 点为坐标原点，以 所在的直线为 轴、 轴、 轴，建立空间直角坐标系， 则 ， 为平面 的一个法向量． ． ∴直线 与平面 所成角的正弦值为 ． 故选：D． 7．若向量 ， 且 与 的夹角余弦为 ，则λ等于（　　） A． B． C． 或 D．2 【答案】A 【详解】 解：∵向量 ， ∴ ， 解得 ． 故选：A． 8．已知直三棱柱 中， ， ， ，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 如图，以 为 轴， 为 轴，平面 内过 垂直于 的直线为 建立空间直角坐标系， 则 ， ， ， ， ，则 ， ， ． ， ， ，所以异面直线 与 所成角的余弦值为 ． 故选：A． 9．如图，已知正方体 的棱长为4，E为棱 的中点，点P在侧面 上运动，当平面 与平面 ，平面 所成的角相等时， 的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 如图，建立空间直角坐标系 ， 则 , . 设 EMBED Equation.DSMT4 则 易知平面 和平面 的一个法向量分别为 .设平面 的法向量为 ， 则 即 取 ，可得 所以 为平面 的一个法向量. 由题意,平面 与平面 ，平面 所成的角相等， 所以 . 或 在平面 上，直线 过点 和 的中点 ， 在平面 上，直线 只过点 ，即点 ， 取 为 的中点,连接 ，则点 在 上运动或点 在点 处， 由等面积法可得 的最小值为 . 10．如图，在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 以D为原点， 分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 则E(1,2,0)，D1(0,0,2)， , , ， ， , 设 (x，y，z)， , ， 则 (x，y，z)·(0,0,2)＝0，∴z＝0， ＝(x，y，z)·(－1，－2,2)＝ ，∴y＝- x， 令x＝1，则y＝- ，∴u＝(1,- ,0)， ∴异面直线D1E与CC1的距离为d＝ EMBED Equation.DSMT4 ， ∵P在D1E上运动，∴P到直线CC1的距离的最小值为d＝ . 二、多选题 11．(多选)已知 ，且 ∥ ，则（ ） A．x＝ B．x＝ C．y＝－ D．y＝－4 【答案】BD 【详解】 解：因为 所以 ， ， 因为 ∥ ， 所以3(1＋2x)＝4(2－x)且3(4－y)＝4(－2y－2)，所以x＝ ，y＝－4． 故选：BD 12．如图，在平行六面体 中， 是 的中点，点 在 上，且 ： ，设 ，则下列选项正确的为（ ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】 因为 是 的中点， 所以 ， 因为点 在 上，且 ： ， 所以 , 故选：AD 三、解答题 13．如图，在平行六面体 中， ， ， ， ， ， 是 的中点，设 ， ， . （1）用 ， ， 表示 ； （2）求 的长. 【详解】 （1）根据向量的三角形法则得到 . （2）∵ ， ∴ ，即 的长