第03讲 整式乘法与因式分解-【暑假辅导班】2021年新八年级数学暑假精品课程（苏科版）

第03讲 整式乘法与因式分解 【基础知识】 一、整式乘除法 单项式乘以单项式: 把它们的系数,相同字母分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式.ac5·bc2=(a·b)·(c5·c2)=abc5+2=abc7 ★注：运算顺序先乘方，后乘除，最后加减 单项式除以单项式: 把系数与同底数幂分别相除作为商的因式,只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式. 单项式乘以多项式: 就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加,m(a+b+c)=ma+mb+mc ★注：不重不漏，按照顺序，注意常数项、负号 .本质是乘法分配律. 多项式除以单项式： 先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加. 多项式乘以多项式：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相乘(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn 二、乘法公式： 平方差公式:两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差. (a+b)(a-b)=a2-b2 完全平方公式:两数和[或差]的平方,等于它们的平方和,加[或减]它们积的2倍. (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 三、因式分解 把一个多项式化成几个整式积的形式,也叫做把这个多项式分解因式. 因式分解方法: 1、 提公因式法. 关键:找出公因式 公因式三部分： ①系数(数字)一各项系数最大公约数； ②字母--各项含有的相同字母； ③指数--相同字母的最低次数；步骤：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并确定另一因式．需注意，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项． 注意：①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”； ②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的． 2、公式法：①a2-b2=(a+b)(a-b)两个数的平方差,等于这两个数的和与这两个数的差的积a、b可以是数也可是式子②a2±2ab+b2=(a±b)2 完全平方两个数平方和加上或减去这两个数的积的2倍,等于这两个数的和[或差]的平方. ③x3-y3=(x-y)(x2+xy+y2) 立方差公式 3、十字相乘：(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab 【考点剖析】 考点一：整式乘除法 例1．（2021·内蒙古赤峰市·八年级期末）下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 A.根据合并同类项法则解题； B.由幂的乘方法则解题； C.由多项式除以单项式解题； D.由多项式乘以多项式法则解题． 【详解】 解：A. ，故A正确； B. ，故B错误； C. ，故C错误； D. ，故D错误， 故选：A． 【点睛】 本题考查整式的混合运算，涉及合并同类项、幂的乘方、多项式除以单项式、多项式乘以多项式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 考点二：乘法公式 例2．（2021·山东菏泽市·九年级一模）下列运算正确的是（ ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据同底数幂乘法法则进行计算，即可得出A选项答案；根据同底数幂除法法则进行计算即可得出B选项答案；根据完全平方公式进行计算即可得出C选项答案；根据平方差公式进行计算即可得出D选项答案． 【详解】 解：因为a2•a4=a6，所以A选项错误； 因为a6÷a2=a4，所以B选项错误； 因为（a+2）2=a2+4a+4，所以C选项错误； 因为（-x-1）（x-1）=-（x+1）（x-1）=-x2+1，所以D选项正确； 故选：D． 【点睛】 本题主要考查了整式混合运算，熟练掌握运算法则进行计算是解决本题的关键． 考点三：因式分解 例3.（2021·浙江宁波市·七年级期中）分解因式： （1）4x2﹣ ； （2）3a﹣6a2+3a3． 【答案】（1） ；（2）3a（1﹣a）2 【分析】 （1）直接利用平方差公式分解因式得出答案； （2）直接提取公因式3a，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】 解：（1）4x2﹣ = ＝ ； （2）3a﹣6a2+3a3 ＝3a（1﹣2a+a2） ＝3a（1﹣a）2． 【点睛】 此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键． 【真题演练】 一、选择题 1．（2021·广西柳州市·九年级三模）代数式4m2﹣n2因式分解的结果是（ ） A．（2m﹣n）（2m＋n） B．4 （m﹣n）（m＋n） C．（4m﹣n）（m＋n） D．（m﹣2n）（m＋2n） 【答案】A 【分析】 直