8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册同步讲义

第八章 立体几何初步 8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 【课程标准】 1. 知道棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式 2. 能利用计算公式求多面体的表面积和体积 3. 能用计算公式解决与多面体相关的实际问题 【知识要点归纳】 1．棱柱、棱锥、棱台的表面积 多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和．棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和． 2．棱柱、棱锥、棱台的体积 (1)V棱柱＝Sh；(2)V棱锥＝Sh；V棱台＝h(S′＋＋S)，其中S′，S分别是棱台的上、下底面面积，h为棱台的高． 3．柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系 V柱体＝ShV台体＝(S′＋＋S)hV锥体＝Sh. 【经典例题】 例1．如图所示，已知正三棱柱的所有棱长均为1，则四棱锥的体积为 　　 A． B． C． D． 例2．正四棱台两底面边长分别为2和4． （1）若侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为，求棱台的侧面积； （2）若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的高． 例3．如图所示，多面体中，已知平面是边长为3的正方形，，，到平面的距离为2，求该多面体的体积． 例题参考答案 一．选择题（共1小题） 1．【解答】解：如图 取中点，连接， 三棱柱是正三棱柱，， 又正三角形的边长为1，． 而平面平面，且平面平面， 平面，又四边形是边长为1的正方形， 四棱锥的体积为． 故选：． 2．【解答】解：（1）如图，设，分别为上，下底面的中心， 过作于，过作于，连接， 则为正四棱台的斜高； 由题意知， ； 在△中，， 又 ， 斜高， ； （2）， ， 解得； 又， 高． 3．【解答】解：如图， 设，分别为，的中点，连接，，， 则，，，得三棱柱， 由题意，； ． 该多面体的体积． 【课堂检测】 一．选择题（共1小题） 1．已知高为3的直棱柱的底面是边长为1的正三角形（如图所示），则三棱锥的体积为　　 A． B． C． D． 二．多选题（共1小题） 2．已知正四棱锥的侧面积为，当该棱锥的体积最大时，以下结论正确的是　　 A．棱锥的高与底面边长的比为 B．侧棱与底面所成的角为 C．棱锥的每一个侧面都是等边三角形 D．棱锥的内切球的表面积为 三．填空题（共3小题） 3．三棱锥的顶点为，，，为三条棱，且，，两两垂直，又，，，则三棱锥的体积是　　． 4．一个六棱锥的体积为