第10讲 中位线-【帮课堂】2021-2022学年九年级数学上册同步精品讲义（华东师大版）

第10讲 中位线 SHAPE \* MERGEFORMAT 1. 理解三角形的中位线的概念，掌握三角形的中位线定理． 2. 掌握中点四边形的形成规律. SHAPE \* MERGEFORMAT 知识点01 三角形的中位线 1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 【微点拨】 （1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系. （2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的. （3）三角形的中位线不同于三角形的中线. 【即学即练1】 如图，已知P、R分别是长方形ABCD的边BC、CD上的点，E、F分别是PA、PR的中点，点P在BC上从B向C移动，点R不动，那么下列结论成立的是（ ） 　　　 　　A．线段EF的长逐渐增大 　　　　B．线段EF的长逐渐变小 　　C．线段EF的长不变 　　　　　　D．无法确定 【答案】C； 【解析】连AR，由E、F分别为PA，PR的中点知EF为△PAR的中位线, 则，而AR长不变，故EF大小不变. 【总结】当条件中含有中点的时候，要将它与中位线联系起来，进行联想，必要时添加辅助线，构造中位线图形． 【即学即练2】 在△ABC中，中线BE、CF交于点O，M、N分别是BO、CO中点，则四边形MNEF是什么特殊四边形？并说明理由． 【答案】5； 解：四边形MNEF是平行四边形． 理由如下：∵BE、CF是中线， ∴E、F分别是AC、AB的中点， ∴EF是△ABC的中位线， ∴EF∥BC且EF=BC， ∵M、N分别是BO、CO中点， ∴MN是△OBC的中位线， ∴MN∥BC且MN=BC， ∴EF∥MN且EF=MN， ∴四边形MNEF是平行四边形． 【即学即练3】 如图，△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若BC＝6，则DF的长是（　　） A．2 B．3 C. D．4 【点拨】利用中位线定理，得到DE∥AB，根据平行线的性质，可得∠EDC＝∠ABC，再利用角平分线的性质和三角形内角外角的关系，得到DF＝DB，进而求出DF的长． 【答案】 解：在△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点 ∴DE∥AB ∴∠EDC＝∠ABC ∵BF平分∠ABC ∴∠EDC＝2∠FBD 在△BDF中，∠EDC＝∠FBD＋∠BFD ∴∠DBF＝∠DFB ∴FD＝BD＝BC＝×6＝3． 【总结】三角形的中位线平行于第三边，当出现角平分线，平行线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题． 【即学即练4】 如图所示，在△ABC中，M为BC的中点，AD为∠BAC的平分线，BD⊥AD于D，AB＝12，AC＝18，求MD的长． 【点拨】本题中所求线段MD与已知线段AB、AC之间没有什么联系，但由M为BC的中点联想到中位线，另有AD为角平分线和垂线，根据等腰三角形“三线合一”构造等腰三角形ABN，D为BN的中点，DM即为中位线，不难求出MD的长度． 【答案】 解：延长BD交AC于点N． ∵ AD为∠BAC的角平分线，且AD⊥BN， ∴ ∠BAD＝∠NAD，∠ADB＝∠ADN＝90°， 在△ABD和△AND中， ∴ △ABD≌△AND(ASA) ∴ AN＝AB＝12，BD＝DN． ∵ AC＝18，∴ NC＝AC－AN＝18－12＝6， ∵ D、M分别为BN、BC的中点， ∴ DM＝CN＝＝3． 【总结】当条件中含有中点的时候，可以将它与等腰三角形的“三线合一”、三角形的中线、中位线等联系起来，进行联想，必要时添加辅助线，构造中位线等图形． 【即学即练5】 如图，BE，CF是△ABC的角平分线，AN⊥BE于N，AM⊥CF于M，求证：MN∥BC． 【答案】 证明：延长AN、AM分别交BC于点D、G． ∵BE为∠ABC的角平分线，BE⊥AG， ∴∠BAG=∠BGA， ∴△ABG为等腰三角形， ∴BN也为等腰三角形的中线，即AN=GN． 同理AM=DM， ∴MN为△ADG的中位线， ∴MN∥BC． 知识点02 顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形的形状 顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形是平行四边形. 【即学即练6】 如图，点O是△ABC外一点，连接OB、OC，线段AB、OB、OC、AC的中点分别为D、E、F、G，连接DE、EF、FG、GD． （1）判断四边形DEFG的形状，并说明理由； （2）若M为EF的中点，OM=2，∠OBC和∠OCB互余，求线段DG的长． 【答案】 解：（1