第09讲 相似三角形-【帮课堂】2021-2022学年九年级数学上册同步精品讲义（华东师大版）

第09讲 相似三角形 SHAPE \* MERGEFORMAT 1、探索相似三角形的性质，能运用性质进行有关计算； 2、通过典型实例认识现实生活中物体的相似，能运用图形相似的知识解决一些简单的实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）. SHAPE \* MERGEFORMAT 知识点01 相似三角形的性质 1．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. 2. 相似三角形中的重要线段的比等于相似比. 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 考点诠释：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段. 3. 相似三角形周长的比等于相似比. ∽，则 由比例性质可得： 4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方. ∽，则分别作出与的高和，则 考点诠释：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的. 【即学即练1】 如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA=1：25，则S△BDE与S△CDE的比是（　　） A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：25 【思路】根据相似三角形的判定定理得到△DOE∽△COA，根据相似三角形的性质定理得到=，==，结合图形得到=，得到答案． 【答案】B． 【解析】 解：∵DE∥AC， ∴△DOE∽△COA，又S△DOE：S△COA=1：25， ∴=， ∵DE∥AC， ∴==， ∴=， ∴S△BDE与S△CDE的比是1：4， 故选：B． 【总结】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 【即学即练2】 如图所示，已知△ABC中，AD是高，矩形EFGH内接于△ABC中，且长边FG在BC上，矩形相邻两边的比为1：2，若BC=30cm，AD=10cm.求矩形EFGH的面积. 　　　　　　　　 【思路】相似三角形对应的高，中线，角分线对应成比例. 【答案】∵ 四边形EFGH是矩形，∴ EH∥BC， ∴ △AEH∽△ABC. ∵ AD⊥BC， ∴ AD⊥EH，MD=EF. ∵ 矩形两邻边之比为1：2， 设EF=xcm，则EH=2xcm. 由相似三角形对应高的比等于相似比，得， ∴ ， ∴ ， ∴. ∴ EF=6cm，EH=12cm.. ∴. 【总结】解决有关三角形的内接矩形、内接正方形的计算问题，经常利用相似三角形“对应高的比等于相似比”和“面积比等于相似比的平方”的性质，若图中没有高可以先作出高. 知识点02 相似三角形的应用 1.测量高度 测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决. 考点诠释：测量旗杆的高度的几种方法： 平面镜测量法 影子测量法 手臂测量法 标杆测量法 2.测量距离 测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。 　1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长. 2．如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长. 　　 考点诠释：　 1．比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离; 　　2．太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比; 　　3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）; 4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角． 【即学即练3】 如图，我们想要测量河两岸相对应两点A、B之间的距离(即河宽) ，你有什么方法？ 　　　　　 【答案】如上图，先从B点出发与AB成90°角方向走50m到O处立一标杆，然后方向不变，继续向前走10m到C处，在C处转90°，沿CD方向再走17m到达D处，使得A、O、D在同一条直线上．那么A、B之间的距离是多少？ 　　 ∵AB⊥BC，CD⊥BC, 　　　　∴∠ABO=∠DCO=90°. 　　　　又 ∵ ∠AOB=∠DOC, 　　　　∴△AOB∽△DOC. 　　　　∴. 　　　　∵BO=50m，CO=10m，CD=17m, 　　　　∴AB=85m. 　　 即河宽为85m． 【总结】这是一道测量河宽的实际问题，还可以借用相似三角形的对应边的比相等，比例式中四条线段，测出了三条线段的长，必能求出第四条. 【即学即练4】 如图：小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔18 m，已知小明的身高是1.6 m，他的影长是2 m． (1)图中△ABC与△ADE是否相似?为什么? (2)求古塔的高度． 　　 【思路】本题考查的