第1章 集合与常用逻辑用语 章末综合提升-2021-2022学年新教材高中数学必修第一册【名师导航】同步Word教参(人教A版)

[巩固层·知识整合] [提升层·题型探究] 集合的并、交、补运算 【例1】　已知全集U＝{0,1,2,3,4,5,6}，集合A＝{x∈N|1＜x≤4}，B＝{x∈R|x2－3x＋2＝0}． (1)用列举法表示集合A与B； (2)求A∩B及∁U(A∪B)． [解]　(1)由题知，A＝{2,3,4}，B＝{x∈R|(x－1)(x－2)＝0}＝{1,2}． (2)由题知，A∩B＝{2}，A∪B＝{1,2,3,4}， 所以∁U(A∪B)＝{0,5,6}． 集合的运算主要包括交集、并集和补集运算．这也是高考对集合部分的主要考查点．有些题目比较简单，直接根据集合运算的定义可得．有些题目与解不等式或方程相结合，需要先正确求解不等式，再进行集合运算．还有的集合问题比较抽象，解题时需借助Venn图进行数形分析或利用数轴等，采用数形结合思想方法，可使问题直观化、形象化，进而能使问题简捷、准确地获解． eq \o([跟进训练]) 1．已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，则∁U(A∪B)＝(　　) A．{1,3,4}　　　　　　 B．{3,4} C．{3} D．{4} D　[∵A＝{1,2}，B＝{2,3}，∴A∪B＝{1,2,3}， ∴∁U(A∪B)＝{4}．] 集合关系和运算中的参数问题 【例2】　已知集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|a≤x≤a＋3}． (1)若(∁RA)∪B＝R，求a的取值范围； (2)是否存在a使(∁RA)∪B＝R且A∩B＝∅？ [解]　(1)A＝{x|0≤x≤2}， ∴∁RA＝{x|x<0或x>2}． ∵(∁RA)∪B＝R， ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a≤0，,a＋3≥2.)) ∴－1≤a≤0. (2)由(1)知(∁RA)∪B＝R时，－1≤a≤0，而2≤a＋3≤3， ∴A⊆B，这与A∩B＝∅矛盾． 即这样的a不存在． 根据集合间关系求参数范围时，要深刻理解子集的概念，把形如A⊆B的问题转化为AB或A＝B，进而列出不等式组，使问题得以解决.在建立不等式过程中，可借助数轴以形促数，化抽象为具体.要注意作图准确，分类全面. eq \o([跟进训练]) 2．已知集合A＝{x|－3≤x＜2}，B＝{x|2k－1≤x≤2k＋1}，且B⊆A，求实数k的取值范围. [解]　由于B⊆A，在数轴上表示A，B，如图， 可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2k－1≥－3，,2k＋1＜2，)) 解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(k≥－1，,k＜\f(1,2).)) 所以k的取值范围是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(k\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(－1≤k＜\f(1,2))))). 充分条件与必要条件 【例3】　已知a≥eq \f(1,2)，y＝－a2x2＋ax＋c，其中a，c均为实数．证明：对于任意的x∈{x|0≤x≤1}，均有y≤1成立的充要条件是c≤eq \f(3,4). [解]　因为a≥eq \f(1,2)，所以函数y＝－a2x2＋ax＋c的图象的对称轴方程为x＝eq \f(a,2a2)＝eq \f(1,2a)，且0＜eq \f(1,2a)≤1，当x＝eq \f(1,2a)时，y＝eq \f(1,4)＋c. 先证必要性： 对于任意的x∈{x|0≤x≤1}，均有y≤1，即eq \f(1,4)＋c≤1，所以c≤eq \f(3,4). 再证充分性： 因为c≤eq \f(3,4)，当x＝eq \f(1,2a)时，y的最大值为eq \f(1,4)＋c≤eq \f(1,4)＋eq \f(3,4)＝1，所以对于任意x∈{x|0≤x≤1}， y＝－a2x2＋ax＋c≤1，即y≤1. 即充分性成立． 利用充分条件和必要条件求参数的取值范围，主要是根据集合间的包含关系与充分条件和必要条件的关系，将问题转化为集合之间的关系，建立关于参数的不等式或不等式组求解. eq \o([跟进训练]) 3．若p：x2＋x－6＝0是q：ax＋1＝0的必要不充分条件，则实数a的值为________． －eq \f(1,2)或eq \f(1,3)　[p：x2＋x－6＝0， 即x＝2或x＝－3. q：ax＋1＝0，当a＝0时，方程无解； 当a≠0时，x＝－eq \f(1,a). 由题意知pq，q⇒p，故a＝0舍去； 当a≠0时，应有－eq \f(1,a)＝2或－eq \f(1,a)＝－3， 解得a＝－eq \f(1,2)或a＝eq \f(1,3). 综上可知，a＝－eq \f(1,2)或a＝eq \f(1,3).] 全称量词与存在量词 【例4】　(1)下列语句不是全称量