专题08 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系-2021-2022学年九年级数学上册链接教材精准变式练（北师大版）

九年级数学全册北师大版版链接教材精准变式练 专题08 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 【典例1】已知关于x的方程x2+2x+a﹣2=0． （1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围； （2）当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根． 【点拨】 （1已知方程有两个不相等的实数根，即判别式△=b2﹣4ac＞0．即可得到关于a的不等式，从而求得a的范围． （2）设方程的另一根为x1，根据根与系数的关系列出方程组，求出a的值和方程的另一根． 【解析】 解：（1）∵b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×（a﹣2）=12﹣4a＞0， 解得：a＜3． ∴a的取值范围是a＜3； （2）设方程的另一根为x1，由根与系数的关系得： ， 解得： ， 则a的值是﹣1，该方程的另一根为﹣3． 【总结】熟练掌握一元二次方程根的判别式与根之间的对应关系． 【典例2】关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是 　 　． 【点拨】此题要考虑两方面：判别式要大于0，二次项系数不等于0. 【答案】k＜2且k≠1； 【解析】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根， ∴k﹣1≠0且△=（﹣2）2﹣4（k﹣1）＞0， 解得：k＜2且k≠1． 故答案为：k＜2且k≠1． 【总结】不能忽略二次项系数不为0这一条件. 【典例3】已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是________ 【答案】且m≠1 【解析】因为方程有实数根，所以，解得， 同时要特别注意一元二次方程的二次项系数不为0，即， ∴ m的取值范围是且m≠1． 【总结】注意一元二次方程的二次项系数不为0，即，m≠1． 【典例4】已知方程的一个根是2，求另一个根及k的值． 【点拨】根据方程解的意义，将x＝2代入原方程，可求k的值，再由根与系数的关系求出方程的另外一个根． 【解析】 方法一：设方程另外一个根为x1，则由一元二次方程根与系数的关系， 得，，从而解得：，k＝-7． 方法二：将x＝2代入方程，得5×22+2k-6＝0，从而k＝-7． 设另外一根为x1，则由一元二次方程根与系数的关系， 得，从而， 故方程的另一根为，k的值为-7． 【总结】根据一元二次方程根与系数的关系，易得另一根及k的值． 【典例5】关于x的一元二次方程x2+2x+2m=0有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）若x1，x2是一元二次方程x2+2x+2m=0的两个根，且x12+x22=8，求m的值． 【点拨】（1）根据方程根的个数结合根的判别式，可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出结论； （2）根据方程的解析式结合根与系数的关系找出x1+x2=﹣2，x1•x2=2m，再结合完全平方公式可得出x12+x22= ﹣2x1•x2，代入数据即可得出关于关于m的一元一次方程，解方程即可求出m的值，经验值m=﹣1符合题意，此题得解． 【解析】 解：（1）∵一元二次方程x2+2x+2m=0有两个不相等的实数根， ∴△=22﹣4×1×2m=4﹣8m＞0， 解得：m＜ ． ∴m的取值范围为m＜ ． （2）∵x1，x2是一元二次方程x2+2x+2m=0的两个根， ∴x1+x2=﹣2，x1•x2=2m， ∴x12+x22= ﹣2x1•x2=4﹣4m=8， 解得：m=﹣1． 当m=﹣1时，△=4﹣8m=12＞0． ∴m的值为﹣1． 【总结】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、解一元一次不等式以及解一元一次方程，解题的关键是：（1）结合题意得出4﹣8m＞0；（2）结合题意得出4﹣4m=8．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据方程根的个数结合根的判别式得出不等式是关键． 【典例6】求作一个一元二次方程，使它的两根分别是方程各根的负倒数． 【解析】 设方程的两根分别为x1、x2，由一元二次方程根与系数的关系， 得，． 设所求方程为，它的两根为y1、y2， 由一元二次方程根与系数的关系得，， 从而， ． 故所求作的方程为，即． 【总结】所求作的方程中的未知数与已知方程中的未知数要用不同的字母加以区别．同时“以两个数x1、x2为根的一元二次方程是 .”可以用这种语言形式记忆“和积＝0”，或“减和加积”，此处的一次项系数最容易出现符号上的错误． 【教材知识必背】 一、一元二次方程根的判别式 1.一元二次方程根的判别式 一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即 （1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； （2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根； （3）当△<0时，一元二次方程没有实数根. 诠释： 利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把