专题07 一元二次方程及其解法（三）-公式法、因式分解法-2021-2022学年九年级数学上册链接教材精准变式练（北师大版）

九年级数学全册北师大版版链接教材精准变式练 专题07 一元二次方程-公式法、因式分解 【典例1】用公式法解下列方程． (1) x2+3x+1=0； (2)； (3) 2x2+3x-1=0． 【解析】 (1) a=1，b=3，c=1 ∴= ． ∴x1= ，x2= ． (2)原方程化为一般形式，得． ∵，，， ∴． ∴，即，． (3) ∵a=2，b=3，c=﹣1 ∴b2﹣4ac=17＞0 ∴x= ∴x1= ，x2= ． 【总结】用公式法解一元二次方程的关键是对a、b、c的确定．用这种方法解一元二次方程的步骤是：(1)把方程化为一元二次方程的一般形式；(2)确定a，b，c的值并计算的值；(3)若是非负数，用公式法求解． 【典例2】用公式法解下列方程： (1) 2x2+x=2； (2) 3x2﹣6x﹣2=0 ； （3）x2﹣3x﹣7=0． 【点拨】针对具体的试题具体分析，不是一般式的先化成一般式，再写出a,b,c的值，代入求值即可. 【解析】 解：(1)∵2x2+x﹣2=0， ∴a=2，b=1，c=﹣2， ∴== ， ∴x1= ，x2= ． (2) ∵a=3，b=﹣6，c=﹣2， ∴b2﹣4ac=36+24=60＞0， ∴x= ， ∴x1= ，x2= （3）∵a=1，b=﹣3，b=﹣7． ∴b2﹣4ac=9+28=37. = ， 解得 x1= ，x2= ． 【总结】首先把每个方程化成一般形式，确定出a、b、c的值，在的前提下，代入求根公式可求出方程的根． 【典例3】解关于x的方程． 【解析】 (1)当m+n＝0且m≠0，n≠0时，原方程可化为． ∵ m≠0，解得x＝1． (2)当m+n≠0时， ∵ ，，， ∴ ， ∴ ， ∴ ，． 【总结】解关于字母系数的方程时，应该对各种可能出现的情况进行讨论． 【典例4】解下列一元二次方程： (1)(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0； (2)． 【解析】 (1)(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0， (2x+1+2)2＝0． 即， ∴ ． (2) 移项，得(3x-1)(x-1)-(4x+1)(x-1)＝0， 即(x-1)(x+2)＝0， 所以，． 【总结】解一元二次方程时，一定要先从整体上分析，选择适当的解法．如 (1)可以用完全平方公式．用含未知数的整式去除方程两边时，很可能导致方程丢根，（2）容易丢掉x＝1这个根． 【典例5】探究下表中的奥秘，并完成填空： 一元二次方程 两个根 二次三项式因式分解 x2﹣2x+1=0 x1=1，x2=1 x2﹣2x+1=（x﹣1）（x﹣1） x2﹣3x+2=0 x1=1，x2=2 x2﹣3x+2=（x﹣1）（x﹣2） 3x2+x﹣2=0 x1= ，x2=﹣1 3x2+x﹣2=3（x﹣ ）（x+1） 2x2+5x+2=0 x1=﹣ ，x2=﹣2 2x2+5x+2=2（x+ ）（x+2） 4x2+13x+3=0 x1=　　，x2=　　 4x2+13x+3=4（x+　　）（x+　　） 将你发现的结论一般化，并写出来． 【点拨】利用因式分解法，分别求出表中方程的解，总结规律，得出结论． 【解析】填空：﹣ ，﹣3；4x2+13x+3=4（x+ ）（x+3）． 发现的一般结论为：若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为x1、x2，则 ax2+bx+c=a（x﹣x1）（x﹣x2）． 【总结】考查学生综合分析能力，要根据求解的过程，得出一般的结论，解一元二次方程——因式分解法． 【典例6】如果，请你求出的值． 【解析】 设，∴ z(z-2)＝3． 整理得：，∴ (z-3)(z+1)＝0． ∴ z1＝3，z2＝-1． ∵ ，∴ z＝-1(不合题意，舍去) ∴ z＝3． 即的值为3． 【总结】如果把视为一个整体，则已知条件可以转化成一个一元二次方程的形式，用因式分解法可以解这个一元二次方程．此题看似求x、y的值，然后计算，但实际上如果把看成一个整体，那么原方程便可化简求解。这里巧设再求z值，从而求出的值实际就是换元思想的运用． 易错提示:忽视，而得或． 【教材知识必背】 一、公式法解一元二次方程 1.一元二次方程的求根公式 　一元二次方程，当时，. 2.一元二次方程根的判别式 一元二次方程根的判别式：． 　　　 ①当时，原方程有两个不等的实数根； 　　　 ②当时，原方程有两个相等的实数根； 　　　 ③当时，原方程没有实数根. 3.用公式法解一元二次方程的步骤