专题06 一元二次方程及其解法（二）-配方法-2021-2022学年九年级数学上册链接教材精准变式练（北师大版）

九年级数学全册北师大版版链接教材精准变式练 专题06 一元二次方程-配方法 【典例1】解方程：x2+4x﹣1=0． 【点拨】首先进行移项，得到x2+4x=1，方程左右两边同时加上4，则方程左边就是完全平方式，右边是常数的形式，再利用直接开平方法即可求解． 【解析】 解：∵x2+4x﹣1=0 ∴x2+4x=1 ∴x2+4x+4=1+4 ∴（x+2）2=5 ∴x=﹣2± ∴x1=﹣2+，x2=﹣2﹣． 【总结】配方法的一般步骤： （1）把常数项移到等号的右边； （2）把二次项的系数化为1； （3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 【典例2】用配方法解方程：2x2﹣12x﹣2=0． 【点拨】首先将二次项系数化为1，再将方程的常数项移动方程右边，两边都加上9，左边化为完全平方式，右边合并，开方转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解． 【解析】解：2x2﹣12x﹣2=0， 系数化为1得：x2﹣6x﹣1=0， 移项得：x2﹣6x=1， 配方得：x2﹣6x+9=10，即（x﹣3）2=10， 开方得：x﹣3=± ， 则x1=3+ ，x2=3﹣ ． 【总结】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，利用此方法解方程时，首先将二次项系数化为1，常数项移动方程右边，然后两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并，开方转化为两个一元一次方程来求解． 【典例3】若代数式，，则的值（　　） Ａ．一定是负数 Ｂ．一定是正数 Ｃ．一定不是负数 Ｄ．一定不是正数 【答案】B； 【解析】（作差法） ．故选Ｂ． 【总结】本例是“配方法”在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项、配成完全平方，使此差大于零而比较出大小. 【典例4】用配方法证明的值小于0． 【点拨】 本题不是用配方法解一元二次方程，但所用的配方法思想与自己学的配方法大同小异，即思路一致． 【解析】 ． ∵ ，∴ ， 即．故的值恒小于0． 【总结】证明一个代数式大于零或小于零，常用方法就是利用配方法得到一个含完全平方式和一个常数的式子来证明． 【典例5】用配方法证明：二次三项式﹣8x2+12x﹣5的值一定小于0． 【解析】 解：﹣8x2+12x﹣5=﹣8（x2﹣x）﹣5 =﹣8[x2﹣x+（）2]﹣5+8×（）2 =﹣8（x﹣）2﹣， ∵（x﹣）2≥0， ∴﹣8（x﹣）2≤0， ∴﹣8（x﹣）2﹣＜0， 即﹣8x2+12﹣5的值一定小于0． 【总结】利用配方法将代数式配成完全平方式后，再分析代数式值的符号. 注意在变形的过程中不要改变式子的值． 【典例6】若把代数式x2+2bx+4化为（x﹣m）2+k的形式，其中m，k为常数，则k﹣m的最大值是　　． 【答案】 ； 【解析】解：x2+2bx+4 =x2+2bx+b2﹣b2+4 =（x+b）2﹣b2+4； ∴m=﹣b，k=﹣b2+4， 则k﹣m=﹣（b﹣ ）2+ ． ∵﹣（b﹣ ）2≤0， ∴当b= 时，k﹣m的最大值是 ． 故答案为： ． 【总结】此题考查利用完全平方公式配方，注意代数式的恒等变形． 【典例7】已知，求的值． 【点拨】 解此题关键是把拆成 ，可配成两个完全平方式． 【解析】 将原式进行配方，得 ， 即， ∴ 且， ∴ ，． ∴ ． 【总结】本题可将原式用配方法转化成平方和等于0的形式，进而求出a．b的值． 【教材知识必背】 一、一元二次方程的解法---配方法 1．配方法解一元二次方程： 　　(1)配方法解一元二次方程： 　　　 将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法. 　　(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：. 　　(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤： 　　　①把原方程化为的形式； 　　　②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； 　　　③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； 　　　④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； 　　　⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 诠释： （1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方； （2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方. （3）配方法的理论依据是完全平方公式． 二、配方法的应用 1．用于比较大小： 在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小. 2．用于求待定字母的值： 配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，