专题03 正方形-2021-2022学年九年级数学上册链接教材精准变式练（北师大版）

九年级数学全册北师大版版链接教材精准变式练 专题03 正方形 【典例1】已知：如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P． （1）求证：AP=BQ； （2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ的长． 【点拨】（1）根据正方形的性质得出AD=BA，∠BAQ=∠ADP，再根据已知条件得到∠AQB=∠DPA，判定△AQB≌△DPA并得出结论；（2）根据AQ﹣AP=PQ和全等三角形的对应边相等进行判断分析． 【解析】 解：（1）∵正方形ABCD ∴AD=BA，∠BAD=90°，即∠BAQ+∠DAP=90° ∵DP⊥AQ ∴∠ADP+∠DAP=90° ∴∠BAQ=∠ADP ∵AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P ∴∠AQB=∠DPA=90° ∴△AQB≌△DPA（AAS） ∴AP=BQ （2）①AQ﹣AP=PQ ②AQ﹣BQ=PQ ③DP﹣AP=PQ ④DP﹣BQ=PQ 【总结】本题主要考查了正方形以及全等三角形，解决问题的关键是掌握：正方形的四条边相等，四个角都是直角．解题时需要运用：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，以及全等三角形的对应边相等． 【典例2】如图，有一平行四边形ABCD与一正方形CEFG，其中E点在AD上．若∠ECD=35°，∠AEF=15°，则∠B的度数为何？（　　） A．50 B．55 C．70 D．75 【点拨】由平角的定义求出∠CED的度数，由三角形内角和定理求出∠D的度数，再由平行四边形的对角相等即可得出结果． 【答案】C． 【解析】 解：∵四边形CEFG是正方形， ∴∠CEF=90°， ∵∠CED=180°﹣∠AEF﹣∠CEF=180°﹣15°﹣90°=75°， ∴∠D=180°﹣∠CED﹣∠ECD=180°﹣75°﹣35°=70°， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴∠B=∠D=70°（平行四边形对角相等）． 故选C． 【总结】本题考查了正方形的性质、平行四边形的性质、三角形内角和定理等知识；熟练掌握平行四边形和正方形的性质，由三角形内角和定理求出∠D的度数是解决问题的关键． 【典例3】如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，点G是BC延长线上一点，连接AG，点E、F分别在AG上，连接BE、DF，∠1＝∠2，∠3＝∠4． （1）证明：△ABE≌△DAF； （2）若∠AGB＝30°，求EF的长． 【点拨】要证明△ABE≌△DAF，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，只要证一条边对应相等即可．要求EF的长，需要求出AF和AE的长． 【解析】 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝AB， ∵∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴△DAF≌△ABE． （2）解：∵四边形ABCD是正方形，∠AGB＝30°， ∴AD∥BC， ∴∠1＝∠AGB＝30°， ∵∠1＋∠4＝∠DAB＝90°， ∵∠3＝∠4， ∴∠1＋∠3＝90°， ∴∠AFD＝180°－（∠1＋∠3）＝90°， ∴DF⊥AG， ∴DF＝ ∴AF＝ ∵△ABE≌△DAF， ∴AE＝DF＝1， ∴EF＝ 【总结】通过证三角形全等得到边和角相等，是有关四边形中证边角相等的最常用的方法．而正方形的四条边相等，四个角都是直角为证明三角形全等提供了条件． 【典例4】如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD=CD，点E是边AC的中点，连接DE，DE的延长线与边BC相交于点F，AG∥BC，交DE于点G，连接AF、CG． （1）求证：AF=BF； （2）如果AB=AC，求证：四边形AFCG是正方形． 【点拨】（1）根据线段垂直平分线的性质，可得AF=CF，再根据等角的余角相等可得∠B=∠BAF，所以AF=BF． （2）由AAS可证△AEG≌△CEF，所以AG=CF．由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得四边形AFCG是平行四边形，进而证得四边形AFCG是菱形，最后根据有一个角为直角的菱形是正方形得证四边形AFCG是正方形． 【解析】 证明：（1）∵AD=CD，点E是边AC的中点， ∴DE⊥AC． 即得DE是线段AC的垂直平分线． ∴AF=CF． ∴∠FAC=∠ACB． 在Rt△ABC中，由∠BAC=90°， 得∠B+∠ACB=90°，∠FAC+∠BAF=90°． ∴∠B=∠BAF． ∴AF=BF． （2）∵AG∥CF，∴∠AGE=∠CFE． 又∵点E是边AC的中点，∴AE=CE． 在△AEG和△CEF中， ， ∴△AEG≌△CEF（AAS）． ∴AG=CF． 又∵AG∥CF，∴四边形AFCG是平行四边形． ∵AF=CF，∴四边形AFCG是菱形． 在Rt△ABC中，由AF=CF，AF=BF，得BF=CF． 即得点F是边BC的中点． 又∵AB=AC，∴AF⊥BC．即