专题02 矩形-2021-2022学年九年级数学上册链接教材精准变式练（北师大版）

九年级数学全册北师大版版链接教材精准变式练 专题02 矩形 【典例1】如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，M，N分别是AB，CD的中点，P是AD上的点，且∠PNB=3∠CBN． （1）求证：∠PNM=2∠CBN； （2）求线段AP的长． 【点拨】（1）由MN∥BC，易得∠CBN=∠MNB，由已知∠PNB=3∠CBN，根据角的和差不难得出结论； （2）连接AN，根据矩形的轴对称性，可知∠PAN=∠CBN，由（1）知∠PNM=2∠CBN=2∠PAN，由AD∥MN，可知∠PAN=∠ANM，所以∠PAN=∠PNA，根据等角对等边得到AP=PN，再用勾股定理列方程求出AP． 【解析】 解：（1）∵四边形ABCD是矩形，M，N分别是AB，CD的中点， ∴MN∥BC， ∴∠CBN=∠MNB， ∵∠PNB=3∠CBN， ∴∠PNM=2∠CBN； （2）连接AN， 根据矩形的轴对称性，可知∠PAN=∠CBN， ∵MN∥AD， ∴∠PAN=∠ANM， 由（1）知∠PNM=2∠CBN， ∴∠PAN=∠PNA， ∴AP=PN， ∵AB=CD=4，M，N分别为AB，CD的中点， ∴DN=2， 设AP=x，则PD=6﹣x， 在Rt△PDN中 PD2+DN2=PN2， ∴（6﹣x）2+22=x2， 解得：x= 所以AP= ． 【总结】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理等知识的综合运用，难度不大，根据角的倍差关系得到∠PAN=∠PNA，发现AP=PN是解决问题的关键． 【典例2】如图所示，已知四边形ABCD是矩形，△PBC和△QCD都是等边三角形，且点P在矩形上方，点Q在矩形内．求证：(1)∠PBA＝∠PCQ＝30°；(2)PA＝PQ． 【点拨】(1)矩形的四个内角都等于90°，利用条件△PBC和△QCD都是等边三角形，容易求得∠PBA和∠PCQ度数；(2)利用(1)的结论以及矩形的性质进一步证明△PAB≌△PQC(SAS)，从而证得PA＝PQ． 【解析】 证明：(1)∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ ∠ABC＝∠BCD＝90°． ∵ △PBC和△QCD是等边三角形， ∴ ∠PBC＝∠PCB＝∠QCD＝60°， ∴ ∠PBA＝∠ABC－∠PBC＝30°，∠PCD＝∠BCD－∠PCB＝30°． ∴∠PCQ＝∠QCD－∠PCD＝30°，故∠PBA＝∠PCQ＝30° (2)∵ 四边形ABCD是矩形，∴ AB＝DC． ∵ △PBC和△QCD是等边三角形， ∴ PB＝PC，QC＝DC＝AB． ∵ AB＝QC，∠PBA＝∠PCQ，PB＝PC． ∴ △PAB≌△PQC，∴ PA＝PQ． 【总结】利用矩形的性质，可以得到许多的结论，在解题时，针对问题列出有用的结论作论据即可． 【典例3】如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF=BD，连接BF． （1）求证：D是BC的中点． （2）如果AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论． 【点拨】 （1）因为AF∥BC，E为AD的中点，即可根据AAS证明△AEF≌△DEC，故有BD=DC； （2）由（1）知，AF=DC且AF∥DC，可得四边形AFDC是平行四边形，又因为AD=CF，故可有一个角是直角的平行四边形是矩形进行判定． 【解析】 （1）证明：∵AF∥BC， ∴∠AFE=∠DCE（1分） ∵E是AD的中点， ∴AE=DE．（2分） ∵∠AEF=∠DEC， ∴△AEF≌△DEC．（3分） ∴AF=DC， ∵AF=BD ∴BD=CD， ∴D是BC的中点；（4分） （2）四边形AFBD是矩形，（5分） 证明：∵AB=AC，D是BC的中点， ∴AD⊥BC， ∴∠ADB=90°，（6分） ∵AF=BD，AF∥BC， ∴四边形AFBD是平行四边形，（7分） ∴四边形AFBD是矩形． 【总结】本题考查矩形的判定和全等三角形的判定与性质．要熟知这些判定定理才会灵活运用，根据性质才能得到需要的相等关系． 【典例4】如图所示，矩形ABCD中，AC、BD相交于O，AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE＝15°，求∠BOE的度数． 【点拨】∠BOE在△BOE中，易知∠OBE＝30°，直接求∠BOE有困难，转为考虑证BO＝BE．由AE平分∠BAD可求∠BAE＝45°得到AB＝BE，进一步可得等边△AOB．有AB＝OB．证得BO＝BE． 【解析】 解：∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ ∠DAB＝∠ABC＝90°，AO＝ AC，BO＝ BD，AC＝BD． ∴ AO＝BO． ∵ AE平分∠BAD，∴ ∠BAE＝45°． ∴ ∠AEB＝90°－45°＝45°＝∠BAE． ∴ BE＝AB． ∵