专题01 菱形-2021-2022学年九年级数学上册链接教材精准变式练（北师大版）

九年级数学全册北师大版版链接教材精准变式练 专题01 菱形 【典例1】如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延长线于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，求证：DF=BE． 　 【点拨】连接AC，根据菱形的性质可得AC平分∠DAE，CD=BC，再根据角平分线的性质可得CE=FC，然后利用HL证明Rt△CDF≌Rt△CBE，即可得出DF=BE． 【解析】 证明：连接AC， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC平分∠DAE，CD=BC， ∵CE⊥AB，CF⊥AD， ∴CE=FC，∠CFD=∠CEB=90°． 在Rt△CDF与Rt△CBE中， ， ∴Rt△CDF≌Rt△CBE（HL）， ∴DF=BE． 【总结】此题考查了菱形的性质，角平分线的性质，关键是掌握菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．同时考查了全等三角形的判定与性质． 【典例2】如图所示，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，∠B＝∠EAF＝60°，∠BAE＝18°．求∠CEF的度数． 【点拨】由已知∠B＝60°，∠BAE＝18°，则∠AEC＝78°．欲求∠CEF的度数，只要求出∠AEF的度数即可，由∠EAF＝60°，结合已知条件易证△AEF为等边三角形，从而∠AEF＝60°． 【解析】 解：连接AC． ∵ 四边形ABCD是菱形， ∴ AB＝BC，∠ACB＝∠ACF． 又∵ ∠B＝60°， ∴ △ABC是等边三角形． ∴ ∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC． ∴ ∠ACF＝∠B＝60°． 又∵ ∠EAF＝∠BAC＝60° ∴ ∠BAE＝∠CAF． ∴ △ABE≌△ACF． ∴ AE＝AF． ∴ △AEF为等边三角形． ∴ ∠AEF＝60°． 又∵ ∠AEF＋∠CEF＝∠B＋∠BAE，∠BAE＝18°， ∴ ∠CEF＝18°． 【总结】当菱形有一个内角为60°时，连接菱形较短的对角线得到两个等边三角形，有助于求相关角的度数．在求角的度数时，一定要注意已知角与所求角之间的联系． 【典例3】如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE=1，AF=2，若P为对角线BD上一动点，则EP+FP的最小值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【点拨】作F点关于BD的对称点F′，则PF=PF′，由两点之间线段最短可知当E、P、F′在一条直线上时，EP+FP有最小值，然后求得EF′的长度即可． 【答案】C． 【解析】 解：作F点关于BD的对称点F′，则PF=PF′，连接EF′交BD于点P． ∴EP+FP=EP+F′P． 由两点之间线段最短可知：当E、P、F′在一条直线上时，EP+FP的值最小，此时EP+FP=EP+F′P=EF′． ∵四边形ABCD为菱形，周长为12， ∴AB=BC=CD=DA=3，AB∥CD， ∵AF=2，AE=1， ∴DF=AE=1， ∴四边形AEF′D是平行四边形， ∴EF′=AD=3． ∴EP+FP的最小值为3． 故选：C． 【总结】本题主要考查的是菱形的性质、轴对称﹣﹣路径最短问题，明确当E、P、F′在一条直线上时EP+FP有最小值是解题的关键． 【典例4】如图所示，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，DE∥AC，DF∥BC，四边形DECF是菱形吗?试说明理由． 【点拨】由菱形的定义去判定图形，由DE∥AC，DF∥BC知四边形DECF是平行四边形，再由∠1＝∠2＝∠3得到邻边相等即可． 【解析】 解：四边形DECF是菱形，理由如下： ∵ DE∥AC，DF∥BC ∴ 四边形DECF是平行四边形． ∵ CD平分∠ACB，∴ ∠1＝∠2 ∵ DF∥BC， ∴ ∠2＝∠3， ∴ ∠1＝∠3． ∴ CF＝DF， ∴ 四边形DECF是菱形． 【总结】在用菱形的定义判定一个四边形是菱形时，首先判定这个四边形是平行四边形，再由一对邻边相等来判定它是菱形． 【典例5】如图，在等边三角形ABC中，BC=6cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以lcm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿线射BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）． （1）连接EF，当EF经过AC边的中点D时，求证：△ADE≌△CDF； （2）当t为多少时，四边形ACFE是菱形． 【点拨】（1）由题意得到AD=CD，再由AG与BC平行，利用两直线平行内错角相等得到两对角相等，利用AAS即可得证； （2）若四边形ACFE是菱形，则有CF=AC=AE=6，由E的速度求出E运动的时间即可． 【解析】 （1）证明