第26讲 ：函数奇偶性知识点与典型例题-2021年暑期数学初升高衔接专题突破

第26讲：函数奇偶性知识点与典型例题（解析版） 　知识梳理 1. 奇函数、偶函数的定义 （1）奇函数：设函数 的定义域为 ，如果对 内的任意一个 ，都有 ， 则这个函数叫奇函数. （2）偶函数：设函数 的定义域为 ，如果对 内的任意一个 ，都有 ， 则这个函数叫做偶函数. （3）奇偶性：如果函数是奇函数或偶函数，那么我们就说函数具有奇偶性. （4）非奇非偶函数：无奇偶性的函数是非奇非偶函数. 注意：（1）奇函数若在时有定义，则． （2）若 且 的定义域关于原点对称，则 既是奇函数又是偶函数． 2．奇(偶)函数的基本性质 (1)对称性：奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 轴对称． (2)单调性：奇函数在其对称区间上的单调性相同，偶函数在其对称区间上的单调性相反． 3. 判断函数奇偶性的方法 （1）图像法 （2）定义法 eq \o\ac(○,1) 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； eq \o\ac(○,2) 确定f(－x)与f(x)的关系； eq \o\ac(○,3) 作出相应结论： 若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数； 若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数． 例题精讲 题型一 判断函数的奇偶性 【例1】判断下列函数的奇偶性. （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） （6） 解：（1） 的定义域为 R，关于原点对称． ∵ ∴ ，即 是偶函数． （2） 的定义域为 由于定义域关于原点不对称 故 既不是奇函数也不是偶函数． （3） 的定义域为 R，关于原点对称． ∵f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1|＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－f(x)， ∴f(x)＝|x＋1|－|x－1|是奇函数． （4） 的定义域为{2}， 由于定义域关于原点不对称， 故 既不是奇函数也不是偶函数． （5） 的定义域为{1，－1}， 由 且 ，所以 所以 图象既关于原点对称，又关于 y 轴对称 故 既是奇函数又是偶函数． （6）显然定义域关于原点对称． 当 x>0 时，－x<0，f(－x)＝x2－x＝－(x－x2)； 当 x<0 时，－x>0，f(－x)＝－x－x2＝－(x2＋x)． 即 即 ∴ 为奇函数． 题型二 利用函数的奇偶性求函数值 【例2】若 f(x)是定义在 R 上的奇函数，f(3)＝2，求 f(－3)和f(0)的值. 解：∵f(x)是定义在 R 上的奇函数， ∴f(－3)＝－f(3)＝－2， f(0)＝0. 【例3】已知 f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且 f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，求g(1). 解：由 f(x)是奇函数，g(x)是偶函数 得 ， 所以 －f(1)＋g(1)＝2 ① f(1)＋g(1)＝4 ② 由①②消掉 f(1)，得 g(1)＝3. 题型三 利用函数的奇偶性求函数解析式 【例4】已知函数 是定义在 R 上的偶函数，当 x≤0 时，f(x)＝x3－x2， 当 x>0 时，求f(x)的解析式. 解：当 时，有 所以 又因为 在 R 上为偶函数 所以 所以当 时， . 【例5】若定义在 R 上的偶函数 和奇函数 满足 ，求 . 解：因为 为偶函数， 为奇函数 所以 ， 因为 ① 所以 所以 ② 由①②式消去 ，得 . 类型四：根据奇偶性求参数 【例6】.已知f(x)＝3ax2＋bx－5a＋b是偶函数，且其定义域为[6a－1，a]，则a＋b＝(　　) A.eq \f(1,7)　　　　　　　 　B．－1 C．1 D．7 解析：选A　因为偶函数的定义域关于原点对称，所以6a－1＋a＝0，所以a＝eq \f(1,7).又f(x)为偶函数，所以3a(－x)2－bx－5a＋b＝3ax2＋bx－5a＋b，解得b＝0，所以a＋b＝eq \f(1,7). 【例8】若函数f(x)＝ －|x＋a|为偶函数，则实数a＝______. （特殊值法） 解析：由题意知，函数f(x)＝ －|x＋a|为偶函数，则f(1)＝f(－1)， ∴1－|1＋a|＝1－|－1＋a|，∴a＝0. 答案：0 【例7】已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2＋x，　　x≤0，,ax2＋bx， x>0))为奇函数，则a＋b＝________.（待定系数法） 解析：当x>0时，－x<0， 由题意得f(－x)＝－f(x)， 所以x2－x＝－ax2－bx， 从而a＝－1，b＝1，a＋b＝0. 答案：0 类型五：利用奇偶性求范围问题 【例8】.已知f(x