第23讲 3.1.1函数的概念知识点与典型例题-2021年暑期数学初升高衔接专题突破

第23讲3.1.1函数的概念知识点与典型例题（解析版） （一）函数的有关概念 1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域． 注意： eq \o\ac(○,2)如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合； eq \o\ac(○,3) 函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式． 定义域补充 能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.（6）指数为零底不可以等于零 (6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. (又注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。) 2． 构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 再注意：（1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备) 值域补充 (1)、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域. (2).应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础. (3).求函数值域的常用方法有：直接法、反函数法、换元法、配方法、均值不等式法、判别式法、单调性法等. 题型一：判断函数是否相同 例1．试判断下列函数是否为同一函数. （1） ，； （2） ， ； （3） ， ； （4） ， . 【答案】（1）（2）（3）不同；（4）相同. 【分析】 分别判断每组函数的定义域和对应关系是否相同. 【详解】 （1）f(x)的定义域为{x|x≠0}，g(x)的定义域为R，定义域不同，所以不是同一函数； （2） ， ，对应关系不同，所以不是同一函数； （3）显然对应关系不同，所以不是同一函数； （4）定义域和对应关系相同，所以是同一函数. 【点睛】 本题考查相等函数的判断，主要考查函数的定义域和对应关系，属于基础题. 题型二：函数的概念 例2．已知函数 . （1）求 ， 的值； （2）若 ，求 的值. 【答案】（1） ， ；（2） ，或 【分析】 （1）直接代入求值即可； （2）令 ，解出即可. 【详解】 解：（1） ， ， ； （2）令 ， 即 ， 解得： ，或 . 例3．已知f(x)＝ (x≠－1).求： （1）f(0)及 的值； （2）f(1－x)及f(f(x)). 【答案】（1）1； ；（2） ， . 【分析】 （1）根据函数解析式，代值计算即可； （2）根据 ，即可容易求得 . 【详解】 （1）因为 ， 所以 ， ， 所以 ； （2）因为 ， 又 ，故可得 ， 所以 ， . 【点睛】 本题考查函数值的求解，涉及函数嵌套，注意函数定义域即可，属简单题. 题型三：求定义域 例4．求下列函数的定义域 （1）函数 （2） 【答案】（1） 且 ；（2） 且 . 【分析】 （1）根据分母不为零、偶次根式被开方式大于等于零，列出不等式组，即可解得答案； （2）根据分母不为零、偶次根式被开方式大于等于零，列出不等式组，即可解得答案. 【详解】 （1）由 , ∴原函数定义域为 且 ；. （2）由 , ∴原函数的定义域为 且 .. 【点睛】 求函数的定义域中，要注意分母不为零，偶次方根被开放式大于等于0. 例5．求下列函数的定义域. （1） . （2） . 【答案】（1） ；（2） . 【分析】 （1）根据解析式，列出不等式，求出使解析式有意义的自变量范围即可； （2）根据解析式，列出不等式，求出使解析式有意义的自变量范围即可. 【详解】 （1）由题意，可得 ，解得 且 ， 即函数 的定义域为 ； （2）由题意，可得 ，解得 且 ， 即函数 的定义域为 . 【点睛】 本题主要考查求具体函数的定义域，涉及一元二次不等式的解法，属于基础题型. 题型四：求值域 例6．求下列函数的值域 （1）函数 ； （2）函数 ，