第21讲 ：2.2基本不等式知识点与典型例题-2021年暑期数学初升高衔接专题突破

第21讲：2.2基本不等式知识点与典型例题（解析版） 基本不等式 1．若a,b∈R,则a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时取等号. 2．如果a,b是正数，那么 变形： 有:a+b≥ ；ab≤ ,当且仅当a=b时取等号. 3．如果a,b∈R+,a·b=P(定值),当且仅当a=b时,a+b有最小值 ; 如果a,b∈R+,且a+b=S(定值),当且仅当a=b时,ab有最大值 . 注：（1）当两个正数的积为定值时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等” 4.常用不等式有：（1）(根据目标不等式左右的运算结构选用) ；（2）a、b、cR，（当且仅当时，取等号）；（3）若，则（糖水的浓度问题）。 例1．若 ，则 （ ） A．有最小值，且最小值为 B．有最大值，且最大值为2 C．有最小值，且最小值为 D．有最大值，且最大值为 【答案】D 【分析】 由基本不等式，即可得出结果. 【详解】 ,当且仅当 取“=” 所以 故选：D 例2．已知 为正实数，且 ，则 的最小值是（ ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】B 【分析】 化简 ，结合基本不等式，即可求解. 【详解】 由题意，正实数 且 ，可得 ， 则 ，当且仅当 时，即 时等号成立， 所以 的最小值是 . 故选：B. 例3．已知 ， ， ，则下列各式中正确的是（ ） A． EMBED Equation.DSMT4 B． 1 C． 2 D． 1 【答案】C 【分析】 利用特殊值排除错误选项，利用基本不等式证明正确选项. 【详解】 当 时， ，所以AB选项错误， 同时 ，所以D选项错误. 对于C选项，由基本不等式得 ， 当且仅当 时等号成立. 所以C选项正确. 故选：C 例4．已知 ， .且 ，若 恒成立，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 利用基本不等式可求 的最小值，从而可求实数 的取值范围. 【详解】 因为 ，故 ， 当且仅当 时等号成立，故 的最小值为9，故 ， 故选：D. 例5．已知 ， ，且 ，则 的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 由基本不等式即可求解. 【详解】 ∵ ，当且仅当 ，即 时等号成立， ∴ ，即 ，即 最小值为 . 故选：D. 例6．若 ，则 的取值范围_______ 【答案】 【分析】 对 进行分类讨论，结合基本不等式求得 的取值范围. 【详解】 当 或 时， ， 当 时， ， 当 时， ， 综上所述 ， 的取值范围是 . 故答案为： 例7．函数 的值域是__________. 【答案】 【分析】 将 化简可得 ，然后讨论 和 时，利用基本不等式求最值即可求解. 【详解】 ， 当 时 ， 当 时， 所以 ， 所以函数 的值域是 ， 故答案为： 【点睛】 方法点睛：形如二次比一次的形式的函数，先对其化简整理，使之具备使用基本不等式的条件，再利用基本不等式求最值，可得值域. 例8．已知正数 、 满足 . （1）求 的最小值； （2）求 的最小值； （3）求 的最小值. 【答案】（1）最小值为 ；（2）最小值为 ；（3）最小值为 . 【分析】 （1）本题首先可根据 得出 、 、 ，然后将 转化为 ，通过基本不等式即可得出结果； （2）本题可将 转化为 ，然后通过基本不等式即可得出结果； （3）本题可将 转化为 ，然后通过基本不等式即可得出结果. 【详解】 ，即 ， ， ， ， ， （1）因为 、 是正数， 所以 ，当且仅当 时等号成立， 故 的最小值为 . （2）因为 ， ，所以 ， ， 则 ， 当且仅当 、 时等号成立， 故 的最小值为 . （3）因为 ， ， ， 所以 ， 当且仅当 、 时等号成立， 故 的最小值为 . 【点睛】 易错点睛： 利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足“一正二定三相等”： （1）“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 提升练习 一、单选题 1．已知m，n∈R，m2+n2=100，则mn的最大值是（ ） A．25 B．50 C．20 D． 【答案】B 【分析】 利用不等式m2+n2≥2mn，可求得结果. 【详解】 由m2+n2≥2mn，得 mn≤ =50， 当且仅当m=n=± 时等号成立. 所以mn的最大值是 . 故选：B 【点睛】 关键点点睛：利用不等式m2+n