第17讲 ：1.4充分条件与必要条件知识点与典型例题-2021年暑期数学初升高衔接专题突破

第17讲：1.4充分条件与必要条件知识点与典型例题（解析版） 充分条件、必要条件与充要条件 ⑴、一般地，如果已知 ，那么就说：是 的充分条件， 是 的必要条件； 若 ，则 是 的充分必要条件，简称充要条件． ⑵、充分条件，必要条件与充要条件主要用来区分命题的条件 与结论 之间的关系： Ⅰ、从逻辑推理关系上看： ①若 ，则 是 充分条件， 是 的必要条件； ②若 ，但 ，则 是 充分而不必要条件; ③若 ，但 ，则 是 必要而不充分条件; ④若 且 ，则 是 的充要条件； ⑤若 且 ，则 是 的既不充分也不必要条件. Ⅱ、从集合与集合之间的关系上看：已知 满足条件 ， 满足条件 ： ,则 是 充分条件； ②若 ,则 是 必要条件； ③若A B，则 是 充分而不必要条件; ④若B A，则 是 必要而不充分条件; ⑤若 ，则 是 的充要条件； ⑥若 且 ，则 是 的既不充分也不必要条件. 例1．下列命题中，判断p是q的什么条件，并说明理由. （1）p： ，q： ； （2）p： 是直角三角形，q： 是等腰三角形； （3）p：四边形的对角线互相平分，q：四边形是矩形. 【答案】（1）必要不充分条件，理由见解析；（2）既不充分也不必要条件，理由见解析；（3）必要不充分条件，理由见解析. 【分析】 （1）根据 与 的关系以及充分条件、必要条件的定义即可得出结果. （2）利用充分条件、必要条件的定义即可得出结果. （3）利用充分条件、必要条件的定义即可得出结果. 【详解】 （1）∵ EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ，但 ， ∴p是q的必要条件，但不是充分条件，即必要不充分条件. （2）∵ 是直角三角形 EMBED Equation.DSMT4 是等腰三角形， 是等腰三角形 EMBED Equation.DSMT4 是直角三角形， ∴p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件，即既不充分也不必要条件. （3）∵四边形的对角线互相平分 四边形是矩形， 四边形是矩形 四边形的对角线互相平分， ∴p是q的必要条件，但不是充分条件，即必要不充分条件. 【点睛】 本题考查了充分条件、必要条件的定义，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题. 例2．指出下列各命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件． （1）p：x2>0，q：x>0； （2）p：x＋2≠y，q：(x＋2)2≠y2； （3）p：a能被6整除，q：a能被3整除； （4）p：两个角不都是直角，q：两个角不相等． 【答案】（1）p是q的必要条件，q是p的充分条件；（2）p是q的必要条件，q是p的充分条件；（3）p是q的充分条件，q是p的必要条件；（4）p是q的必要条件，q是p的充分条件． 【分析】 根据充分、必要条件的定义，逐一判断即可. 【详解】 解：（1）p：x2>0则x>0，或x<0，q：x>0，故p是q的必要条件，q是p的充分条件． （2）p：x＋2≠y，q：(x＋2)2≠y2，则x＋2≠y且x＋2≠－y，故p是q的必要条件，q是p的充分条件． （3）p：a能被6整除，故也能被3和2整除，q：a能被3整除，故p是q的充分条件，q是p的必要条件． （4）p：两个角不都是直角，这两个角可以相等，q：两个角不相等，则这个角一定不都是直角，故p是q的必要条件，q是p的充分条件． 【点睛】 本题考查充分、必要条件的判断，考查分析判断的能力，属基础题. 例3．已知条件p：k<x－1<k＋1，条件q：－2≤x≤1.若p是q的充分不必要条件，求实数k的取值范围． 【答案】{k|－3≤k≤－1}． 【分析】 由p是q的充分不必要条件，可得条件 的解集是条件 的解集的真子集，从而可求出实数k的取值范围． 【详解】 解：p：k＋1<x<k＋2，q：－2≤x≤1，因为p是q的充分不必要条件， 所以 或 ，解得－3≤k≤－1， 即k的取值范围为{k|－3≤k≤－1}． 【点睛】 此题考查由充分不必要条件求参数的范围，属于基础题 例4．（1）是否存在实数m，使 是 的充分条件？ （2）是否存在实数m，使 是 的必要条件？ 【答案】（1）存在， ；（2）不存在 【分析】 （1）利用集合间的包含关系来处理，即若 ，则A是B的充分条件； （2）若 ，则B是A的必要条件. 【详解】 （1）由 解得 由 解得 或 欲使 是 的充分条件， 则只要 EMBED Equation.DSMT4 或 ， 即只需 ， 所以 . 故存在实数 ，使 是 的充分条件. （2）欲使 是 的必要条件， 则只要 或 EMBED Equation.DSMT4 ，这是不可能的. 故不存在实数m，使 是 的必要条件. 【点睛】 本题考查充分条件、必要条