专题16 选修4-5不等式选讲-十年（2012-2021）高考数学真题分项汇编（全国通用）

专题16 选修4-5不等式选讲 【2021年】 1．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）已知函数． （1）当时，求不等式的解集; （2）若，求a的取值范围． 【答案】（1）.（2）. 【分析】（1）当时，，表示数轴上的点到和的距离之和， 则表示数轴上的点到和的距离之和不小于， 当或时所对应的数轴上的点到所对应的点距离之和等于6， ∴数轴上到所对应的点距离之和等于大于等于6得到所对应的坐标的范围是或， 所以的解集为. （2）依题意，即恒成立， ， 当且仅当时取等号，, 故， 所以或， 解得. 所以的取值范围是. 2．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知函数． （1）画出和的图像； （2）若，求a的取值范围． 【答案】（1）图像见解析；（2） 【分析】（1）可得，画出图像如下： ，画出函数图像如下： （2）， 如图，在同一个坐标系里画出图像， 是平移了个单位得到， 则要使，需将向左平移，即， 当过时，，解得或（舍去）， 则数形结合可得需至少将向左平移个单位，. 3．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）已知函数. （1）讨论的单调性； （2）设，为两个不相等的正数，且，证明：. 【答案】（1）的递增区间为，递减区间为；（2）证明见解析. 【分析】（1）函数的定义域为， 又， 当时，，当时，， 故的递增区间为，递减区间为. （2）因为，故，即， 故， 设，由（1）可知不妨设. 因为时，，时，， 故. 先证：， 若，必成立. 若， 要证：，即证，而， 故即证，即证：，其中. 设， 则， 因为，故，故， 所以，故在为增函数，所以， 故，即成立，所以成立， 综上，成立. 设，则， 结合，可得：， 即：，故， 要证：，即证，即证， 即证：，即证：， 令， 则， 先证明一个不等式：. 设，则， 当时，；当时，， 故在上为增函数，在上为减函数，故， 故成立 由上述不等式可得当时，，故恒成立， 故在上为减函数，故， 故成立，即成立. 综上所述，. 【2012年——2020年】 1．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））已知函数． （1）画出的图像； （2）求不等式的解集． 【答案】（1）详解解析；（2）. 【分析】 （1）根据分段讨论法，即可写出函数的解析式，作出图象； （2）作出函数的图象，根据图象即可解出． 【详解】 （1）因为，作出图象，如图所示： （2）将函数的图象向左平移个单位，可得函数的图象，如图所示： 由，解得． 所以不等式的解集为． 2．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））已知函数. （1）当时，求不等式的解集； （2）若，求a的取值范围. 【答案】（1）或；（2）. 【分析】（1）当时，. 当时，，解得：； 当时，，无解； 当时，，解得：； 综上所述：的解集为或. （2）（当且仅当时取等号）， ，解得：或， 的取值范围为. 3．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ））设a，b，cR，a+b+c=0，abc=1． （1）证明：ab+bc+ca<0； （2）用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c}≥． 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析. 【分析】（1）， . 均不为，则，； （2）不妨设， 由可知，， ，. 当且仅当时，取等号， ，即. 4．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明： （1）； （2）． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1） 当且仅当时取等号 ，即： （2），当且仅当时取等号 又，，（当且仅当时等号同时成立） 又 5．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））已知 （1）当时，求不等式的解集； （2）若时，，求的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）当时，原不等式可化为； 当时，原不等式可化为，即，显然成立， 此时解集为； 当时，原不等式可化为，解得，此时解集为空集； 当时，原不等式可化为，即，显然不成立；此时解集为空集； 综上，原不等式的解集为； （2）当时，因为，所以由可得， 即，显然恒成立；所以满足题意； 当时，，因为时， 显然不能成立，所以不满足题意； 综上，的取值范围是. 6．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））设，且. （1）求的最小值； （2）若成立，证明：或. 【答案】(1) ；(2)见详解. 【分析】(1) 故等号成立当且仅当而又因，解得时等号成立 所以的最小值为. (2) 因为，所以. 根据柯西不等式等号成立条件，当，即时有成立. 所以成立，所以有或. 7．（2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标I卷））已知. （1）当时，求不等式的解集； （2