课时分层作业8 基本不等式的简单应用-2021-2022学年新教材高中数学必修第一册【名师导航】同步Word练习(北师大版)

课时分层作业(八)　基本不等式的简单应用 (建议用时：40分钟) 一、选择题 1．设s＝a＋b2＋1，t＝a＋2b，则s与t的大小关系是(　　) A．s≥t　　 B．s>t C．s≤t D．s<t A　[∵ b2＋1≥2b.∴s≥t] 2．不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是(　　) A．a＝±1 B．a＝1 C．a＝－1 D．a＝0 B　[由a2＋1＝2a，得a＝1，即a＝1时，等号成立．] 3．已知a>0，b>0，则下列不等式中错误的是(　　) A．ab≤ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2))) eq \s\up8(2) B．ab≤ eq \f(a2＋b2,2) C． eq \f(1,ab)≥ eq \f(2,a2＋b2) D． eq \f(1,ab)≤ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a＋b))) eq \s\up8(2) D　[由基本不等式知A、C正确，由重要不等式知B正确，由 eq \f(a＋b,2) ≥ eq \r(ab)得，ab≤ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2))) eq \s\up8(2)∴ eq \f(1,ab)≥ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a＋b))) eq \s\up8(2)，故选D.] 4．下列各不等式：①a2＋1>2a；②|x＋ eq \f(1,x)|≥2；③ eq \f(a＋b,\r(ab))≤2；④x2＋ eq \f(1,x2＋1)≥1，其中正确的个数是(　　) A．3　　　　B．2　　　　C．1　　　　D．0 B　[仅②④正确．] 5．若0<a<1，0<b<1且a≠b，则在a＋b，2 eq \r(ab)，a2＋b2和2ab中最大的是(　　) A．a＋b B．2 eq \r(ab) C．a2＋b2 D．2ab A　[由0<a<1，0<b<1，得a2＋b2<a＋b， 又2 eq \r(ab)≤a＋b，2ab≤a2＋b2， 则最大的是a＋b.] 二、填空题 6．已知a>0，b>0，a＋2b＝2，则ab的最大值是________． eq \f(1,2)　[因为a＋2b≥2 eq \r(a·2b).所以2 eq \r(a·2b)≤2，所以ab≤ eq \f(1,2)，当且仅当a＝2b＝1时取等号．] 7．某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，则这两年的平均增长率x与增长率的平均值 eq \f(a＋b,2)的大小关系为________． x≤ eq \f(a＋b,2)　[用两种方法求出第三年的产量分别为 A(1＋a)(1＋b)，A(1＋x)2，则有(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b). ∴1＋x＝ eq \r(（1＋a）（1＋b）)≤ eq \f(1＋a＋1＋b,2)＝1＋ eq \f(a＋b,2)， ∴x≤ eq \f(a＋b,2).当且仅当a＝b时等号成立．] 8．设a，b为非零实数，给出不等式： ① eq \f(a2＋b2,2)≥ab；② eq \f(a2＋b2,2)≥ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2))) eq \s\up8(2)；③ eq \f(a＋b,2)≥ eq \f(ab,a＋b)；④ eq \f(a,b)＋ eq \f(b,a)≥2. 其中恒成立的不等式的序号是________． ①②　[由重要不等式a2＋b2≥2ab可知，①正确； eq \f(a2＋b2,2)＝ eq \f(（a2＋b2）＋（a2＋b2）,4)≥ eq \f(a2＋b2＋2ab,4)＝ eq \f(（a＋b）2,4)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2))) eq \s\up8(2)，故②正确； 对于③，当a＝b＝－1时，不等式的左边为 eq \f(a＋b,2)＝－1，右边为 eq \f(ab,a＋b)＝－ eq \f(1,2)，可知③不正确； 令a＝1，b＝－1可知④不正确．] 三、解答题 9．已知x，y，z是互不相等的正数， 求证：x＋ eq \f(1,y)，y＋ eq \f(1,z)，z＋ eq \f(1,x)中，至少有一个大于2. [证明]　∵ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,y)))＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(1,z)))＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(z＋\f(1,x)))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co