课时分层作业6 全称量词与存在量词-2021-2022学年新教材高中数学必修第一册【名师导航】同步Word练习(北师大版)

课时分层作业(六)　全称量词与存在量词 (建议用时：40分钟) 一、选择题 1．下列命题中是存在量词命题的是(　　) A．平行四边形的对边相等 B．同位角相等 C．任何实数都存在相反数 D．存在实数没有倒数 [答案] 　D 2．将命题“x2＋y2≥2xy”改写成全称量词命题为(　　) A．对任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立 B．存在x，y∈R，使x2＋y2≥2xy成立 C．对任意x＞0，y＞0，都有x2＋y2≥2xy成立 D．存在x＜0，y＜0，使x2＋y2≤2xy成立 A　[本题中的命题仅保留了结论，省略了条件“任意实数x，y”，改成全称命题为：对任意实数x，y，都有x2＋y2≥2xy成立．] 3. 已知命题p：∃n∈N，2n＞1000，则p的否定为(　　) A．∀n∈N，2n≤1000　 B．∀n∈N，2n＞1000 C．∃n∈N，2n≤1000 D．∃n∈N，2n＜1000 A　[存在量词命题的否定是全称量词命题，“＞”的否定是“≤”，故选A.] 4．设x∈Z，A是奇数集，B是偶数集，则“∀x∈A，2x∈B”的否定是(　　) A．∀x∈A，2xB B．∀xA，2xB C．∃xA，2x∈B D．∃x∈A，2xB [答案]　D 5．下列命题中的假命题是(　　) A．∃x∈R，x3≤0 B．∃x∈R， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋1)) eq \s\up8(3)<0 C．∀x∈R，x2≥0 D．∀x∈R， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋1)) eq \s\up8(2)>0 D　[当x＝－1时， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋1)) eq \s\up8(2)＝0，故选D.] 二、填空题 6．将“方程x2＋1＝0无实根”改写成含有一个量词的命题的形式，可以写成________． [答案]　∀x∈R，x2＋1≠0 7．“对任意x∈R，若y>0，则x2＋y>0”的否定是________． [答案]　存在x∈R，若y>0，则x2＋y≤0 8．对于命题：①任意x∈N，都有x2>0；②任意x∈Q，都有x2∈Q；③存在x∈Z，x2>1；④存在x，y∈R，使|x|＋|y|>0，其中是全称量词命题并且是真命题的是________．(填序号) ②　[只有①②是全称量词命题，当x＝0时，x2＝0，所以①是假命题．] 三、解答题 9．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断真假． (1)所有的实数a、b，方程ax＋b＝0恰有惟一解． (2)存在实数x，使 eq \f(1,x2－2x＋3)＝ eq \f(3,4). [解]　 (1)该命题是全称量词命题． 当a＝0，b＝0时方程有无数解，故该命题为假命题． (2)该命题是存在量词命题． ∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2， ∴ eq \f(1,x2－2x＋3)≤ eq \f(1,2)< eq \f(3,4). 故该命题是假命题． 10．已知命题“对任意x∈R，x2－5x＋ eq \f(15,2)a＞0”的否定为假命题，求实数a的取值范围． [解]　由“对任意x∈R，x2－5x＋ eq \f(15,2)a＞0”的否定为假命题，可知命题“对任意x∈R，x2－5x＋ eq \f(15,2)a＞0”必为真命题，即不等式x2－5x＋ eq \f(15,2)a＞0对任意实数x恒成立． 设y＝x2－5x＋ eq \f(15,2)a，则其图象恒在x轴的上方． 故Δ＝25－4× eq \f(15,2)a＜0，解得a＞ eq \f(5,6)，即实数a的取值范围为a＞ eq \f(5,6). 11．下列全称量词命题中真命题的个数是(　　) ①末位是零的整数，可被5整除 ②角平分线上任意一点到这个角的两边的距离相等 ③∀x∈Z，2x2＋1是奇数 A．0　　　　B．1　　　　C．2　　　　D．3 [答案]　D 12．命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是(　　) A．所有不能被2整除的数都是偶数 B．所有能被2整除的数都不是偶数 C．存在一个不能被2整除的数是偶数 D．存在一个能被2整除的数不是偶数 D　[把全称量词改为存在量词，并把结果否定．] 13．命题：“对任意k>0，方程x2＋x－k＝0有实根”的否定是(　　) A．对任意k≤0，方程x2＋x－k＝0有实根 B．对任意k≤0，方程x2＋x－k＝0无实根 C．存在k>0，使方程x2＋x－k＝0无实根 D．存在k>0，使方程x2＋x－k＝0有实根 C　[“对任意k>0，方程x2＋x－k＝0有实根”的否定是“存在k>0，使方程x2＋x－k＝0无实根”，故选C.] 14．若“∃x∈R，x2＋3x＋m＝0