第1章 2.2 全称量词与存在量词-2021-2022学年新教材高中数学必修第一册【名师导航】同步Word教参(北师大版)

2.2　全称量词与存在量词 学 习 目 标 核 心 素 养 1．通过实例理解全称量词与存在量词的意义．(重点) 2．能正确地对含有一个量词的命题进行否定．(重点、易混点) 3．能判断全称量词命题与存在量词命题的真假．(重点、难点) 1．通过对含量词的命题的否定，培养逻辑推理素养． 2．借助含量词的命题的应用，培养数学运算素养． 1．全称量词与全称量词命题 (1)全称量词：在命题中，诸如“所有”“每一个”“任意”“任何”“一切”这样的词叫作全称量词，用符号“∀”表示．读作“对任意的” (2)全称量词命题：在给定集合中，断言所有元素都具有同一种性质的命题叫作全称量词命题． 思考1：“相似三角形是全等三角形”是否是全称量词命题？ 提示：　该命题是全称量词命题，只不过省略了全称量词． 2．存在量词与存在量词命题 (1)存在量词：在命题中，诸如“有些”“有一个”“存在”这样的词叫作存在量词，用符号“∃”表示，读作“存在”． (2)存在量词命题：在给定集合中，断言某些元素具有一种性质的命题叫作存在量词命题． 思考2：“不等式x2－1<0有解”是全称量词命题还是存在量词命题？用符号表示该命题。 提示：是存在量词命题，可表示为“∃x∈R，x2－1<0”． 3．全称量词命题与存在量词命题的否定 命题p 命题p的否定 ∀x∈M，p eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x)) ∃x∈M，x不具有性质p(x) ∃x∈M，p eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x)) ∀x∈M，x不具有性质p(x) 思考3：含有一个量词的命题和它的否定一定是一真一假吗？ 提示：一定是一真一假． 1．下列命题中是全称量词命题的个数(　　) ①任意一自然数都是正整数　②有些菱形是正方形　③三角形内角和是180° A．0　　　　B．1　　　　C．2　　　　D．3 [答案]　C 2．下列四个命题中的真命题是(　　) A．∃x0∈Z，1<4x0<3 B．∃x0∈Z，2x0－1＝0 C．∀x∈R，x2－1＝0 D．∀x∈R，x2＋1>0 D　[∀x∈R，x2≥0⇒x2＋1≥1>0.] 3．命题“∀x∈R，x2≥0”的否定是________． [答案]　∃x∈R，x2<0 4．写出下列命题的否定，并判断真假． (1)∀x∈R，x不是5x－12＝0的根； (2)有些质数是奇数； (3)∃x∈R，|x|＞0. [解]　(1)∃x0∈R，使x0是5x－12＝0的根，真命题． (2)每一个质数都不是奇数，假命题． (3)∀x∈R，|x|≤0，假命题． 全称量词命题与存在量词命题的判断 【例1】　判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假． (1)对任意实数x，都有x2＋2>0. (2)存在x0∈R，使2x0＋1＝3. (3)至少有一个自然数小于0. (4)对每一个无理数x，x2也是无理数． [思路点拨]　根据命题中出现的量词或者隐含的量词判断命题类型． [解]　(1)是全称量词命题，真命题； (2)是存在量词命题，真命题； (3)是存在量词命题，假命题； (4)是全称量词命题，假命题． 1．判断一个命题是全称量词命题，还是存在量词命题，主要看命题中是否含有全称量词，或者存在量词，有些全称量词命题虽然不含全称量词，但是可以根据命题的意义去判断． 2．存在量词命题真假的判断 要判断存在量词命题“存在x∈M，p eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使得p eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0))成立即可；如果在集合M中，使得p eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))成立的x不存在，那么这个存在量词命题就是假命题． eq \a\vs4\al([跟进训练]) 1．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假． (1)任意一个二次函数的图象都与y轴相交； (2)至少有一个整数，它既能被2整除，又能被3整除； (3)所有的素数都是奇数； (4)三角形都有外接圆． [解]　(1)是全称量词命题，真命题． (2)是存在量词命题，真命题． (3)是全称量词命题，假命题． (4)是全称量词命题，真命题． 含有一个量词的命题的否定 【例2】　(1)命题“∀x≥0，x3＋x≥0”的否定是(　　) A．∃x<0，x3 ＋ x< 0　 B．∃x<0，x3＋ x≥0 C．∃x≥0，x3＋ x< 0 D．∀x≥0，x3＋ x< 0 (2)命题“存在x∈Z，x2＋2x＋m≤0”的否定是(　　) A．存在x∈Z，x2＋2x＋m>0 B．不存在x∈Z，x2＋2x＋m>0 C．对任意x∈Z，x2