第1章 2.1 必要条件与充分条件-2021-2022学年新教材高中数学必修第一册【名师导航】同步Word教参(北师大版)

§2　常用逻辑用语 2.1　必要条件与充分条件 学 习 目 标 核 心 素 养 1.结合具体实例，理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．(重点、难点) 2．会求(判断)某些问题的必要条件、充分条件与充要条件．(重点) 1．通过必要条件、充分条件的判断，提升逻辑推理素养． 2．借助必要条件、充分条件的应用，培养数学运算素养． 1．命题 (1)命题的定义：可以判断真假，用文字或符号表述的陈述句． (2)命题的两种形式：“若p，则q”和“p是q”． (3)“⇒”的意义：当命题“若p，则q”是真命题时，就说由条件p推出结论q，记作p⇒q. 思考1：命题可以是疑问句吗？ 提示：不可以，疑问句不涉及真假，更无法判断真假． 2．必要条件与充分条件 命题真假 “若p，则q”是真命题 “若p，则q”是假命题 推出关系 p⇒q pq 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 思考2：(1)“p是q的充分条件”与“q是p的必要条件”所表示的推出关系是否相同？ (2)以下五种表述形式：①p⇒q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q.这五种表述形式等价吗？ 提示：(1)相同，都是p⇒q　(2)等价 3．充要条件 (1)一般地，如果有p⇒q，且q⇒p，就记作p⇔q.此时，我们说，p是q的充分且必要条件，简称充要条件． (2)若p⇒q，但qp，则称p是q的充分不必要条件． (3)若q⇒p，但pq，则称p是q的必要不充分条件． (4)若pq，且qp，则称p是q的既不充分也不必要条件． 思考3：如果一个命题及其逆命题均成立，那么原命题中的条件是结论的充要条件吗？ 提示：是． 1．下列语句是命题的是(　　) A．正方形是矩形　　　　　 B．作直线AB C．x是整数　　　　　　　 D．明天会下雨吗 A　[D不是陈述句，B、C无法判断真假．] 2．“同位角相等”是“两直线平行”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件　　　　 D．既不充分也不必要条件 [答案]　C 3．使x>1成立的一个充分条件是(　　) A．x>0 B．x<0 C．x>2 D．x<2 C　[只有x>2⇒x>1，其他选项均不能推出x>1.] 4．如图所示的电路图中，“闭合开关A”是“灯泡B亮”的什么条件？ [解]　如图(1)，闭合开关A或者闭合开关C都可能使灯泡B亮．反之，若要灯泡B亮，不一定非要闭合开关A.因此“闭合开关A”是“灯泡B亮”的充分不必要条件． 如图(2)，闭合开关A而不闭合开关C，灯泡B不亮．反之，若要灯泡B亮，则开关A必须闭合，说明“闭合开关A”是“灯泡B亮”的必要不充分条件． 如图(3)，闭合开关A可使灯泡B亮，而灯泡B亮，开关A一定是闭合的，因此“闭合开关A”是“灯泡B亮”的充要条件． 如图(4)，闭合开关A但不闭合开关C，灯泡B不亮．反之，灯泡B亮也可不必闭合开关A，只要闭合开关C即可，说明“闭合开关A”是“灯泡B亮”的既不充分又不必要条件． 必要条件、充分条件的判断 【例1】　指出下列各题中p是q的什么条件． (1)p：x＝1，q：x2＝1； (2)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等； (3)p：a>b，q：ac>bc. [思路点拨]　求解本题需注意以下两点： (1)分清条件和结论； (2)准确判断命题“若p，则q”及其逆命题的真假． [解]　(1)x＝1⇒x2＝1，但x2＝1x＝1，故p是q的充分不必要条件． (2)两个三角形相似两个三角形全等，但两个三角形全等⇒两个三角形相似，故p是q的必要不充分条件． (3)a＞bac＞bc，ac＞bca＞b，故p是q的既不充分也不必要条件． 用定义判断必要条件、充分条件要注意 (1)分清条件与结论； (2)既要考虑由条件能否推出结论，即充分性；也要考虑由结论能否推出条件，即必要性． eq \a\vs4\al([跟进训练]) 1．指出下列各题中p是q的什么条件 (1)在△ABC中，p：AB＝AC，q：∠B＝∠C； (2)p：x＝2，q：x>1； (3)p：a>b，q： eq \f(a,b)>1. [解]　(1)由等腰三角形的性质定理与判定定理知，p是q的充要条件． (2)x＝2⇒x>1，但x>1x＝2，故p是q的充分不必要条件． (3)当b<0时，由a>b，可得 eq \f(a,b)<1，由 eq \f(a,b)>1，可得a<b，故p是q的既不充分也不必要条件． 必要条件、充分条件的应用 [探究问题] 记集合A＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(p\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1