第1章 4.1 一元二次函数-2021-2022学年新教材高中数学必修第一册【名师导航】同步Word教参(北师大版)

§4　一元二次函数与一元二次不等式 4.1　一元二次函数 学 习 目 标 核 心 素 养 1．掌握一元二次函数的图象和性质．(重点) 2．体会用平移的方法研究一元二次函数的图象，并能迁移到对其他函数的图象的研究之中．(难点、易混点) 1．通过一元二次函数的图象学习，培养直观想象素养． 2．借助一元二次函数性质的应用，培养逻辑推理素养． 1．一元二次函数的三种形式 (1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)； (2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)； (3)两根式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)； 思考1：如何把二次函数的一般式化成顶点式？ 提示：y＝ax2＋bx＋c＝a eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(b,a)x))＋c＝a[x2＋2× eq \f(b,2a)×x＋( eq \f(b,2a))2－( eq \f(b,2a))2]＋c ＝a eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(b,2a)))\s\up8(2)－\f(b2,4a2)))＋c＝a eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(b,2a))) eq \s\up8(2)－ eq \f(b2,4a)＋c＝a(x＋ eq \f(b,2a))2＋ eq \f(4ac－b2,4a) 2．一元二次函数的图象 二次函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)，a决定了二次函数图象的开口大小及方向；h决定了二次函数图象的左、右平移，而且“h正左移，h负右移”；k决定了二次函数图象的上、下平移，而且“k正上移，k负下移”． 思考2：(1)能否仅通过平移函数y＝x2的图象得到y＝ eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－1)) eq \s\up8(2)的图象？ (2)二次函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的参数a对其图象的开口大小与方向有什么影响？ 提示： (1)不能，平移只改变图象的位置，不改变其形状，而二者形状不同． (2)当a>0时，图象开口向上，a值越大，开口越小； 当a<0时，图象开口向下，a值越大，开口越大． 3．一元二次函数的性质 解析式 y＝ax2＋bx＋c eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a>0)) y＝ax2＋bx＋c eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a<0)) 图象 定义域 R 值域 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞)) eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4ac－b2,4a))) 最值 ymin＝ eq \f(4ac－b2,4a) ymax＝ eq \f(4ac－b2,4a) 增减性 在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上递减 在 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上递增 在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上递增 在 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上递减 对称性 关于直线x＝－ eq \f(b,2a)对称 1．二次函数y＝x2的图象上各点的纵坐标变为原来的2倍，得到的新图象的二次函数是(　　) A．y＝x2＋2　　　 B．y＝2x2 C．y＝ eq \f(1,2)x2 D．y＝x2－2 [答案]　B 2．将二次函数的图象向下、向右各平移2个单位长度得到图象的解析式为y＝－x2，则原二次函数的解析式是(　　) A．y＝－(x－2)2＋2 B．y＝－(x＋2)2＋2 C．y＝－(x＋2)2－2 D．y＝－(x－2)2－2 B　[将函数y＝－x2的图象进行逆变换，即将y＝－x2的图象向左平移2个单位，可得y＝－(x＋2)2的图象，然后再将其向上平移2个单位可得y＝－(x＋2)2＋2的图象，即原函数的图象．] 3．将函数y＝2(x＋1)2－2向________平移________个单位，再向________平移________个单位可得到函数y＝2x2的图象． 右　1　上　2　[通过y＝2x2→y＝2(x＋1)2－2反向分析，也可借助顶点分析．] 4．对于二次函数y＝－x2＋4x＋3， (1)指出图象的开口方向、对称轴、顶点坐标； (2)说明其图象是由y＝－x2的图象经过怎样的平移得来． [解]　(1)∵y