第1章 3.2 第2课时 基本不等式的综合应用-2021-2022学年新教材高中数学必修第一册【名师导航】同步Word教参(北师大版)

第2课时　基本不等式的综合应用 学 习 目 标 核 心 素 养 1.会用基本不等式求函数的最大(小)值问题．(重点) 2．能利用基本不等式解决实际应用问题．(难点) 1．通过基本不等式求函数最值的应用，提升数学运算素养． 2．借助基本不等式在实际问题中的应用，培养数学建模素养． 已知x、y都是正数， (1)若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值 eq \f(s2,4)； (2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，x＋y取得最小值2 eq \r(p). 上述命题可归纳为：和定积最大，积定和最小． 思考：(1)两个非负数的积为定值，它们的和一定可以用基本不等式求最小值吗？ (2)两个非负数的和为定值，它们的积一定可以用基本不等式求最大值吗？ 提示：(1)不一定，例如a2＋2与 eq \f(1,a2＋2)，它们的积为定值，但等号取不到，因此不能用基本不等式求最小值． (2)不一定，例如1＋a2与1－a2，它们的和为定值，但等号取不到，因此不能用基本不等式求最大值． 1．若a＞1，则a＋ eq \f(1,a－1)的最小值是(　　) A．2　　　　B．a　　　　C． eq \f(2\r(a),a－1)　　　　D．3 D　[∵a＞1，∴a－1＞0，∴a＋ eq \f(1,a－1)＝a－1＋ eq \f(1,a－1)＋1≥2 eq \r(（a－1）·\f(1,a－1))＋1＝3.当且仅当a－1＝ eq \f(1,a－1)，即a＝2时，等号成立．] 2．设x＞0，则y＝3－3x－ eq \f(1,x)的最大值是(　　) A．3 B．－3 eq \r(2) C．3－2 eq \r(3) D．－1 C　[∵x＞0， ∴y＝3－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(1,x)))≤3－2 eq \r(3x·\f(1,x))＝3－2 eq \r(3).当且仅当3x＝ eq \f(1,x)，且x＞0，即x＝ eq \f(\r(3),3)时，等号成立．] 3．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元．那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处． 5　[依题意得y1＝ eq \f(20,x)，y2＝ eq \f(4,5)x为仓库与车站的距离， ∴y1＋y2＝ eq \f(20,x)＋ eq \f(4x,5)≥2 eq \r(16)＝8，当且仅当x＝5时取等号，所以仓库应建在离车站5千米处．] 4．当x< eq \f(3,2)时，求函数y＝x＋ eq \f(8,2x－3)的最大值． [解]　y＝ eq \f(1,2)(2x－3)＋ eq \f(8,2x－3)＋ eq \f(3,2) ＝－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3－2x,2)＋\f(8,3－2x)))＋ eq \f(3,2)， ∵当x< eq \f(3,2)时，3－2x>0， ∴ eq \f(3－2x,2)＋ eq \f(8,3－2x)≥2 eq \r(\f(3－2x,2)·\f(8,3－2x))＝4，当且仅当 eq \f(3－2x,2)＝ eq \f(8,3－2x)，即x＝－ eq \f(1,2)时取等号． 于是y≤－4＋ eq \f(3,2)＝－ eq \f(5,2)，故函数有最大值－ eq \f(5,2).] 基本不等式求函数最值 【例1】　(1)设0<x<2，求函数y＝ eq \r(3x\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8－3x)))的最大值； (2)若x>4，求y＝ eq \f(3,x－4)＋x的最小值． [思路点拨]　 (1)3x＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8－3x))＝8；(2) eq \f(3,x－4)＋x＝ eq \f(3,x－4)＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－4))＋4 .可利用基本不等式求解． [解]　 (1)∵0＜x＜2，∴0＜3x＜6，8－3x＞2＞0， ∴y＝ eq \r(3x（8－3x）)≤ eq \f(3x＋（8－3x）,2)＝ eq \f(8,2)＝4， 当且仅当3x＝8－3x，即x＝ eq \f(4,3)时，取等号． ∴当x＝ eq \f(4,3)时，y＝ eq \r(3x（8－3x）)的最大值是4. (2)当x＞4时，x－4＞0， ∴ eq \f(3,x－4)＋x＝ eq \f(3,x－4)＋(x－4)＋4≥2 eq \r(\f(3,x－4)×（x－4）)＋4＝2 eq \r(3)＋4，