第1章 3.2 第1课时 基本不等式的简单应用-2021-2022学年新教材高中数学必修第一册【名师导航】同步Word教参(北师大版)

3.2　基本不等式 第1课时　基本不等式的简单应用 学 习 目 标 核 心 素 养 1.理解重要不等式的证明和基本不等式的证明过程．(重点) 2．能利用重要不等式与基本不等式证明简单的不等式．(难点) 1．通过不等式的证明，培养逻辑推理素养． 2．借助重要不等式与基本不等式的应用，提升数学运算素养． 1．两个不等式 不等式 条件 结论 等号成立的条件 重要不等式 a，b∈R eq \f(a2＋b2,2)≥ab 当且仅当a＝b时 基本不等式 a≥0，b≥0 eq \f(a＋b,2)≥ eq \r(ab) 当且仅当a＝b时 2.基本不等式的文字表述 eq \f(a＋b,2)称为a，b的算术平均值； eq \r(ab)称为a，b的几何平均值． 因此，基本不等式又称为均值不等式，可用文字表述为：两个非负实数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值． 思考：不等式a＋ eq \f(1,a)≥2一定成立吗？为什么？ 提示：不一定成立，例如当a＝－1时，a＋ eq \f(1,a)＝－2，不等式不成立，事实上，当a>0时，a＋ eq \f(1,a)≥2，当a<0时，a＋ eq \f(1,a)≤－2. 1．a，b是正数，则 eq \f(a＋b,2)， eq \r(ab)， eq \f(2ab,a＋b)三个数的大小顺序是(　　) A． eq \f(a＋b,2)≤ eq \r(ab)≤ eq \f(2ab,a＋b)　 B． eq \r(ab)≤ eq \f(a＋b,2)≤ eq \f(2ab,a＋b) C． eq \f(2ab,a＋b)≤ eq \r(ab)≤ eq \f(a＋b,2) D． eq \r(ab)≤ eq \f(2ab,a＋b)≤ eq \f(a＋b,2) C　[ eq \f(2ab,a＋b)≤ eq \f(2ab,2\r(ab))＝ eq \r(ab)≤ eq \f(a＋b,2).] 2．若0<a<b且a＋b＝1，则下列四个数中最大的是(　　) A． eq \f(1,2)　　　　B．a2＋b2　　　　C．2ab　　　　D．a B　[由 eq \r(ab)< eq \f(a＋b,2)＝ eq \f(1,2)，得ab< eq \f(1,4)，∴2ab< eq \f(1,2)； a2＋b2＝a2＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－a)) eq \s\up8(2)＝2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2))) eq \s\up8(2)＋ eq \f(1,2)> eq \f(1,2)； a< eq \f(a＋b,2)＝ eq \f(1,2)，故选B.] 3．若a＞0，b＞0且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是(　　) A． eq \f(1,ab)＞ eq \f(1,2) B． eq \f(1,a)＋ eq \f(1,b)≤1 C． eq \r(ab)≥2 D． eq \f(1,a2＋b2)≤ eq \f(1,8) D　[取a＝1，b＝3知A，B，C均不正确， 又因为a2＋b2≥2ab⇒a2＋b2≥ eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋b))\s\up8(2),2)＝8⇒ eq \f(1,a2＋b2)≤ eq \f(1,8)，故选D.] 4．已知a＞0，b＞0，c＞0，d＞0.求证： eq \f(ad＋bc,bd)＋ eq \f(bc＋ad,ac)≥4. [证明]　 eq \f(ad＋bc,bd)＋ eq \f(bc＋ad,ac)＝ eq \f(a,b)＋ eq \f(c,d)＋ eq \f(b,a)＋ eq \f(d,c)＝( eq \f(a,b)＋ eq \f(b,a))＋( eq \f(c,d)＋ eq \f(d,c))≥2＋2＝4(当且仅当a＝b且c＝d时，取“＝”). 故 eq \f(ad＋bc,bd)＋ eq \f(bc＋ad,ac)≥4. 对基本不等式的理解 【例1】　在下列的结论中，正确的序号是________． ①当x>0时，x＋ eq \f(4,x)≥4. ②当x<0时，x＋ eq \f(4,x)≤－4. ③ eq \f(b,a)＋ eq \f(a,b)≥2. ④ab≤ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2))) eq \s\up8(2)≤ eq \f(a2＋b2,2). [思路点拨]　从重要不等式与基本不等式成立的的条件以及等号成立的条件考虑． ①②④　[当ab<0时， eq \f(b,a)＋ eq \f(a,b)≤－2，故③错误； 当x<0时，x＋ eq \f(4,x)＝－ eq \b\lc\[\rc