2021-2022学年浙江九年级数学上册第1章《二次函数》竞赛题精选

2021-2022学年浙江九年级数学上册第1章《二次函数》竞赛题精选 一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（5分）（2020•温江区校级自主招生）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，以下结论：①b2＞4ac；②b+2a＜0；③当x＜﹣，y随x的增大而增大；④a﹣b+c＜0中，正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：∵抛物线与x轴有2个交点， ∴△＝b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，所以①正确； ∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣， ∴b＝3a， ∴b+2a＝5a， 而抛物线的开口向下， ∴a＜0， ∴b+2a＜0，所以②正确； ∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣， ∴当x＜﹣，y随x的增大而增大，所以③正确； ∵x＝﹣1时，y＞0， ∴a﹣b+c＞0，所以④错误． 故选：C． 2．（5分）（2020•浙江自主招生）如图所示，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴负半轴相交于A、B两点，Q（n，）是二次函数y＝ax2+bx+c图象上一点，且AQ⊥BQ，则a的值为（　　） A．﹣ B．﹣ C．﹣1 D．﹣2 【解答】解：设ax2+bx+c＝0的两根分别为x1与x2， 依题意有（x1﹣n）2++（x2﹣n）2+＝（x1﹣x2）2， 化简得：n2﹣n（x1+x2）++x1x2＝0． 有n2+n++＝0， ∴an2+bn+c＝﹣a． ∵（n，）是图象上的一点， ∴an2+bn+c＝， ∴﹣a＝， ∴a＝﹣2， 故选：D． 3．（5分）（2020•浙江自主招生）二次函数y＝﹣x2+2x+8的图象与x轴交于B，C两点，点D平分BC，若在x轴上侧的A点为抛物线上的动点，且∠BAC为锐角，则AD的取值范围是（　　） A．3＜AD≤9 B．3≤AD≤9 C．4＜AD≤10 D．3≤AD≤8 【解答】解：设B（m，0），C（n，0）； 由题意m，n是方程﹣x2+2x+8＝0的两根，则有：m+n＝2，mn＝﹣8； 故BC＝＝＝6； 设抛物线顶点为P，则P（1，9）； ∴BC＜AD≤DP， 即3＜AD≤9； 故选：A． 4．（5分）（2020•浙江自主招生）Rt△ABC的三个顶点A，B，C均在抛物线y＝x2上，并且斜边AB平行于x轴．若斜边上的高为h，则（　　） A．h＜1 B．h＝1 C．1＜h＜2 D．h＞2 【解答】解：由题A，B，C均在抛物线y＝x2上，并且斜边AB平行于x轴， 知A、B两点关于y轴对称，记斜边AB交y轴于点D， 可设A（﹣，b），B（，b），C（a，a2），D（0，b） 则因斜边上的高为h， 故：h＝b﹣a2， ∵△ABC是直角三角形，由其性质直角三角形斜边中线等于斜边一半， ∴得CD＝ ∴＝，方程两边平方得：（b﹣a2）＝（a2﹣b）2 即h＝（﹣h）2 因h＞0，得h＝1，是个定值． 故选：B． 5．（5分）（2019•鹿城区校级自主招生）已知实数a，b满足a2+b2＝1，则a4+ab+b4的最小值为（　　） A． B．0 C．1 D． 【解答】解：∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2≥0， ∴2ab≤1， ∴ab≤， ∵（a+b）2＝a2+2ab+b2≥0， ∴ab≥﹣ ∴﹣≤ab≤， 令y＝a4+ab+b4＝（a2+b2）2﹣2a2b2+ab＝﹣2a2b2+ab+1＝﹣2（ab﹣）2+， 当﹣≤ab≤时，y随ab的增大而增大， 当≤ab≤时，y随ab的增大而减小， 故当ab＝﹣时，a4+ab+b4的最小值，为﹣2（﹣﹣）2+＝﹣2×+＝0， 即a4+ab+b4的最小值为0，当且仅当|a|＝|b|时，ab＝﹣，此时a＝﹣，b＝，或 a＝，b＝﹣． 故选：B． 6．（5分）（2019•青羊区校级自主招生）设a、b、c为实数，且a≠0，抛物线y＝ax2+bx+c，顶点在y＝﹣2上，与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，当△ABC为直角三角形时，S△ABC的最大值是（　　） A．1 B． C．3 D．4 【解答】解：设y＝ax2+bx+c交y轴于点C（0，c），c≠0，交x轴于点A（x1，0）、B（x2，0），且x1＜0＜x2，由△ABC是直角三角形知，点C必为直角顶点，且c2＝（﹣x1）x2＝﹣x1x2（射影定理的逆定理）， 由根与系数的关系得，，， ∴，， 又＝﹣2，即8a＝4+b2≥4， ∴， ∴，＝，＝＝， 当且仅当，b＝0，c＝﹣2时等号成立，因此，Rt△ABC的最大面积是4． 故选：D． 7．（5分）（2018秋•武昌区校级期末）已知一元二次方程ax2+bx+c＝0两根为x1，x2，x2+x1＝﹣，x2．x1＝．如果抛物线y＝ax2+bx+c经过点（1，2），若abc＝4，且a≥b≥c，则|a|+|b|+|c|的最小值为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【解答