专题06 一元二次方程根的分布-2021年初升高数学无忧衔接（沪教版2020）

专题06 一元二次方程根的分布 课程要求 《初中课程要求》 1.一元二次方程根与系数的关系的推导是在求根公式的基础上进行.它深化了两根的和与积同系数之间的关系，是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，必须熟记，为高中阶段的使用打下基础. 2.一元二次方程根与系数的关系的探索与推导，向我们展示了认识事物的一般规律，提倡积极思维，勇于探索，锻炼我们分析、观察、归纳的能力及推理论证的能力. 3.一元二次方程的根与系数的关系，中考考查的频率较高，高考也常与几何、二次函数等问题结合考查，是考试的热点，它是方程理论的重要组成部分. 4.韦达定理的原定理的功能是：若已知一元二次方程，则可写出该方程的两根之和的值及两根之积的值.而其逆定理的功能是：若已知一元二次方程的两个根，可写出这个方程. 《高中课程要求》 一元二次方程的根从几何意义上来说就是二次函数与轴交点的横坐标，所以研究的实根的情况，可从函数的图象上进行研究. 若在内研究方程的实根情况，只需考查与轴交点的个数以及交点横坐标的符号，根据判别式以及韦达定理，由、、的值与符号，从而判断出实根的情况. 若在区间内研究二次方程，则需由二次函数图象与区间关系来确定. 热身练习 一、单选题 1．（2020·东莞市光明中学高一开学考试）下列一元二次方程有两个不等的实数根的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】，所以不符合题意；没有实数根，所以不符合题意； ，所以方程有两个不相等的实数根，所以符合题意； 所以，所以方程没有实数根，所以不符合题意. 【详解】,所以，所以不符合题意； ,所以，没有实数根，所以不符合题意； ，，所以方程有两个不相等的实数根，所以符合题意； ，所以，所以方程没有实数根，所以不符合题意. 故选：C 【点睛】本题主要考查一元二次方程的根的个数的判定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 2．（2018·阳春市第一中学高一开学考试）若、是一元二次方程的两个不相等的根，则的值是（ ） A．3 B．15 C．-3 D．-15 【答案】B 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可求解. 【详解】∵、是一元二次方程的两个不相等的根， ∴，即， 由根与系数的关系可知：， ∴. 故选：B 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，考查了运算能力，属于中档题. 3．（2020·江西南昌二中高一开学考试）二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，若关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有解，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出，关于的一元二次方程的解就是抛物线与直线的交点的横坐标，利用图象法即可解决问题． 【详解】因为对称轴为直线，所以 如图，关于的一元二次方程的解就是抛物线与直线的交点的横坐标， 当时，， 当时，， 由图象可知关于的一元二次方程为实数）在的范围内有解， 直线在直线和直线之间包括直线， 所以． 故选：． 【点睛】本题考查抛物线与轴的交点、一元二次方程等知识，解题的关键是学会利用图象法解决问题，画出图象是解决问题的关键，属于中考选择题中的压轴题． 二、填空题 4．（2020·浙江高一开学考试）若关于x的方程kx2﹣kx+1＝0有两个相等的实数根，则实数k的值为_____． 【答案】4 【分析】利用一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到k≠0且＝k2﹣4k＝0，然后解方程可得到k的值． 【详解】根据题意得k≠0且＝k2﹣4k＝0，解得k＝4． 故答案为：4 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与判别式的关系，属于基础题. 5．（2019·四川省眉山第一中学）已知方程的两个实数根分别为，则的值为__________. 【答案】 【分析】利用韦达定理计算即可. 【详解】由韦达定理有：,故. 故答案为：7 【点睛】本题主要考查了韦达定理求解根的关系,属于基础题. 6．（2020·运城市景胜中学高一开学考试）关于x的一元二次方程x2-2kx+k2-k=0的两个实数根分别是x1、x2，且，则的值是____. 【答案】4 【分析】由判别式求出的取值范围，由求出的值，在计算即可. 【详解】，得， 由x2-2kx+k2-k=0得：，， ， ， 或（舍） ， 故答案为：4. 【点睛】此题考一元二次方程根的判别式和韦达定理，特别容易忽视判别式导致增根，大家做的时候要注意细节. 7．（2018·江苏南通市·启东中学高一开学考试）若和分别是一元二次方程的两根，则的是_____________. 【答案】 【分析】由韦达定理得， ，进而求解． 【详解】解：由韦达定理：， ， . 故答案为：. 【点睛】本题考查韦达定理，两根只差与两根之和、两根之积的关系． 知识精讲 一： 与零有关的根的分布 分布情况 两个