专题12 解析几何-十年（2012-2021）高考数学真题分项汇编（全国通用）

专题12 解析几何 【2021年】 1．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）设B是椭圆的上顶点，点P在C上，则的最大值为（ ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】设点，因为，，所以 ， 而，所以当时，的最大值为． 故选：A． 2．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，由，因为，，所以 ， 因为，当，即时，，即，符合题意，由可得，即； 当，即时，，即，化简得，，显然该不等式不成立． 故选：C． 3．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）点到双曲线的一条渐近线的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可知，双曲线的渐近线方程为：，即， 结合对称性，不妨考虑点到直线的距离：. 故选：A. 4．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ） A．13 B．12 C．9 D．6 【答案】C 【分析】由题，，则， 所以（当且仅当时，等号成立）． 故选：C． 二、多选题 5．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）已知点在圆上，点、，则（ ） A．点到直线的距离小于 B．点到直线的距离大于 C．当最小时， D．当最大时， 【答案】ACD 【分析】圆的圆心为，半径为， 直线的方程为，即， 圆心到直线的距离为， 所以，点到直线的距离的最小值为，最大值为，A选项正确，B选项错误； 如下图所示： 当最大或最小时，与圆相切，连接、，可知， ，，由勾股定理可得，CD选项正确. 故选：ACD. 三、填空题 6．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）双曲线的右焦点到直线的距离为________． 【答案】 【分析】由已知，，所以双曲线的右焦点为， 所以右焦点到直线的距离为. 故答案为： 7．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）已知双曲线的一条渐近线为，则C的焦距为_________． 【答案】4 【分析】由渐近线方程化简得，即，同时平方得，又双曲线中，故，解得（舍去），，故焦距 故答案为：4 8．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为________． 【答案】 【分析】因为为上关于坐标原点对称的两点， 且，所以四边形为矩形， 设，则， 所以， ，即四边形面积等于. 故答案为：. 9．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为______. 【答案】 【分析】抛物线： ()的焦点, ∵P为上一点，与轴垂直， 所以P的横坐标为，代入抛物线方程求得P的纵坐标为, 不妨设, 因为Q为轴上一点，且，所以Q在F的右侧， 又， 因为，所以, ， 所以的准线方程为 故答案为：. 四、解答题 10．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）已知抛物线的焦点F到准线的距离为2． （1）求C的方程; （2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足，求直线斜率的最大值. 【答案】（1）；（2）最大值为. 【分析】（1）抛物线的焦点，准线方程为， 由题意，该抛物线焦点到准线的距离为， 所以该抛物线的方程为； （2）设，则， 所以， 由在抛物线上可得，即， 所以直线的斜率， 当时，； 当时，， 当时，因为， 此时，当且仅当，即时，等号成立； 当时，； 综上，直线的斜率的最大值为. 11．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）已知抛物线的焦点为，且与圆上点的距离的最小值为． （1）求； （2）若点在上，是的两条切线，是切点，求面积的最大值． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）抛物线的焦点为，， 所以，与圆上点的距离的最小值为，解得； （2）抛物线的方程为，即，对该函数求导得， 设点、、， 直线的方程为，即，即， 同理可知，直线的方程为， 由于点为这两条直线的公共点，则， 所以，点、的坐标满足方程， 所以，直线的方程为， 联立，可得， 由韦达定理可得，， 所以，， 点到直线的距离为， 所以，， ， 由已知可得，所以，当时，的面积取最大值. 12．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）抛物线C的顶点为坐标原点O．焦点在x轴上，直线l：交C于P，Q两点，且．已知点，且与l相切． （1）求C，的方程； （2）设是C上的三个点，直线，均与相切．判断直线与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）抛物线，方程为；（2）相切，理由见解析 【分析】（1）依题意设抛物线， ， 所以抛物线的方程为， 与相切，所以半径为， 所以的方程为； （2）设 若斜率不存在，则方程为或， 若方程为，根据对称性