专题11 立体几何-十年（2012-2021）高考数学真题分项汇编（全国通用）

专题11 立体几何 【2021年】 1．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 如图，连接，因为∥， 所以或其补角为直线与所成的角， 因为平面，所以，又，， 所以平面，所以， 设正方体棱长为2，则， ，所以. 故选：D 2．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A，C两点到水平面的高度差约为（）（ ） A．346 B．373 C．446 D．473 【答案】B 【分析】 过作，过作， 故， 由题，易知为等腰直角三角形，所以． 所以． 因为，所以 在中，由正弦定理得： ， 而， 所以， 所以． 故选：B． 3．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已如A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且，则三棱锥的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】，为等腰直角三角形，， 则外接圆的半径为，又球的半径为1， 设到平面的距离为， 则， 所以. 故选：A. 4．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设圆锥的母线长为，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则，解得. 故选：B. 二、填空题 5．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为则该圆锥的侧面积为________. 【答案】 【分析】∵ ∴ ∴ ∴. 故答案为：. 三、解答题 6．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，M为的中点，且． （1）证明：平面平面； （2）若，求四棱锥的体积． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【分析】（1）因为底面，平面， 所以， 又，， 所以平面， 而平面， 所以平面平面． （2）由（1）可知，平面，所以， 从而，设，， 则，即，解得，所以． 因为底面， 故四棱锥的体积为． 7．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，为的中点，且． （1）求； （2）求二面角的正弦值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）平面，四边形为矩形，不妨以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 设，则、、、、， 则，， ，则，解得，故； （2）设平面的法向量为，则，， 由，取，可得， 设平面的法向量为，，， 由，取，可得， ， 所以，， 因此，二面角的正弦值为. 8．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，. （1）求三棱锥的体积； （2）已知D为棱上的点，证明：. 【答案】(1)；(2)证明见解析. 【分析】(1)如图所示，连结AF， 由题意可得：， 由于AB⊥BB1，BC⊥AB，，故平面， 而平面，故， 从而有， 从而， 则，为等腰直角三角形， ，. (2)由(1)的结论可将几何体补形为一个棱长为2的正方体，如图所示，取棱的中点，连结， 正方形中，为中点，则， 又， 故平面，而平面， 从而. 9．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点． （1）证明：； （2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小? 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】因为三棱柱是直三棱柱，所以底面，所以 因为，，所以， 又，所以平面． 所以两两垂直． 以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图． 所以， ． 由题设（）． （1）因为， 所以，所以． （2）设平面的法向量为， 因为， 所以，即． 令，则 因为平面的法向量为， 设平面与平面的二面角的平面角为， 则． 当时，取最小值为， 此时取最大值为． 所以， 此时． 10．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点. （1）证明：； （2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积. 【答案】(1)详见解析(2) 【分析】（1）因为AB=AD,O为BD中点，所以AO⊥BD 因为平面ABD平面BCD,平面ABD⊥平面BCD，平面ABD， 因此AO⊥平面BCD， 因为平面BCD，所以AO⊥CD (2)作EF⊥BD于F, 作FM⊥BC于M,连FM 因为AO⊥平面BCD，所以AO⊥BD,