作业18 导数的实际应用-2021年高二数学暑假作业（新人教B版2019）

作业18 导数的实际应用 一、单选题 1．关于函数 ，下列说法正确的是（ ） A．没有最小值，有最大值 B．有最小值，没有最大值 C．有最小值，有最大值 D．没有最小值，也没有最大值 【答案】D 【详解】 依题意 ，所以 在 上递增，没有最小值，也没有最大值. 2．某公司生产一种产品，固定成本为 元，每生产一单位的产品，成本增加 元，若总收入 与年产量 的关系是 ， ，则当总利润最大时，每年生产的产品单位数是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 设总利润为 （ ） ， （ ）， 令 ，可得 ，当 时， ,当 时， ， 故当 时， 取得最大值. 3．关于 的函数 的极值点的个数有 A．2个 B．1个 C．0个 D．由 确定 【答案】C 【详解】 试题分析：因为， ，所以，令 ，得， ，在x=－1附近，导函数值不变号，所以，关于 的函数 的极值点的个数为0，选C． 4．已知正四棱锥的侧棱长为 ，那么当该棱锥体积最大时，它的高为（ ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】C 【详解】 设底面边长为a，则高 所以体积 ， 设 则y′=48a3 3a5，y′=48a3 3a5=0，解可得a=4， 且当a＞4时，y′≤0，函数 在区间（4，+∞）是减函数； 当0＜a＜4时，y′＞0，函数 在区间（0，4）是增函数； ∴当a=4时，函数 ，取得最大值，即此时体积最大， 此时 ， 故选：C． 5．一个矩形铁皮的长为 ，宽为 ，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，若记小正方形的边长为 ，小盒子的容积为 ，则（ ） A．当 时， 有极小值 B．当 时， 有极大值 C．当 时， 有极小值 D．当 时， 有极大值 【答案】B 【详解】 小盒子的容积为 ， 所以 ，令 得 ，或 舍去， 当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减， 所以当 时 有极大值为144. 故选：B. 6．现要做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其容积为 且用料最省，则水桶底面圆的半径为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 设水桶底面半径为 ，高为 ，用料面积为 ， 由题知： ，所以 ， 所以 ， ， 因为 在 为增函数，且 ， 所以 ， ， 为减函数， ， ， 为增函数. 所以当 时， 取得最小值. 故选：B 7．已知函数 的定义域为 ，导函数 在 内的图象如图所示，则函数 在 内的极小值有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【详解】 解：因为极小值点两侧函数的单调性是先减后增，对应导函数值是先负后正， 由图得：导函数值先负后正的点有1个． 所以函数 在区间 内极小值点的个数是1． 故选： ． 8．已知直线 与抛物线 相交于 、 两点， 是坐标原点， 为抛物线的弧 上任意点，则当 的面积最大时， 点坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 设 ，过点 与 平行的直线为 ，如图： ∵直线 与抛物线 相交于 、 两点， ∴ 为定值，要使 的面积最大， 只要 到 的距离最大，而 点是抛物线的弧 上的一点， ∴点 是抛物线上平行于直线 的切线的切点， 由图知点 在 轴上方， ， ，由题意知 ， ∴ ，即 ，∴ ，∴ ， 故选：B. 9．根据以往经验，一超市中的某一商品每月的销售量 (单位：件)与销售价格 (单位：元/件)满足关系式 ，其中 .已知该商品的成本为20元/件，则该超市每月销售该商品所获得利润的最大值为（ ） A．8600元 B．8060元 C．6870元 D．4060元 【答案】B 【详解】 设超市每月销售该商品所获得的利润为 元， 则 ， ， ， 令 ，得 ，则 在 上单调递增；令 ，得 ，则 在 上单调递减.所以 的最大值为 . 故选：B． 10．现有一个帐篷，它下部分的形状是高为 的正六棱柱，上部分的形状是侧棱长为 的正六棱锥（如图所示）当帐篷的体积最大时，帐篷的顶点O到底面中心 的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 设 为 ，则 ， 设底面正六边形的面积为 ，帐篷的体积为 . 则由题设可得，正六棱锥底面边长为 ， 于是 EMBED Equation.DSMT4 ， 所以 ， 则 . 令 ，解得 或 （舍去）. 当 时， ，V单调递增； 当 时， ，V单调递减. 所以当 （m）时，V最大. 故选：C. 二、多选题 11．定义在 上的可导函数 的导函数的图象如图所示，以下结论正确的是（ ） A．-3是 的一个极小值点； B．-2和-1都是 的极大值点； C． 的单调递增区间是 ； D． 的单调递减区间是 ． 【答案】ACD 【详解】 当 时， ， 时 ， ∴ 是极小值点，